Papirnati obrti nisu samo razne razglednice i aplikacije izrađene u obliku ravnih proizvoda. Trodimenzionalni modeli figura ispadaju vrlo originalni (slika 1). Na primjer, možete dizajnirati. Pogledajmo neke načine kako to učiniti pomoću dijagrama i fotografija.

Povijest figura

Antička matematička znanost vuče korijene iz daleke prošlosti, u doba procvata starog Rima i Grčke. Tada je bilo uobičajeno povezivati ​​tehničke aspekte s filozofskima. Stoga, prema učenju Platona (jednog od starogrčkih mislilaca), svaki od poliedara, koji se sastoji od određenog broja identičnih ravnina, simbolizira jedan element. Likovi iz trokuta - oktaedar, ikosaedar i tetraedar - povezani su sa zrakom, vodom i vatrom, a mogu se transformirati jedni u druge zbog ujednačenosti lica od kojih svako ima tri vrha. Zemlja je simbolizirana heksaedrom kvadrata. A dodekaedar, zahvaljujući svojim posebnim peterokutnim licima, igra dekorativnu ulogu i prototip je sklada i mira.

Također je poznato da je jedan od grčkih matematičara, Euklid, u svom učenju “Principia” dokazao jedinstvenost spomenutih Platonovih tijela i njihovo svojstvo “uklapanja” u sferu (slika 2). Prikazani poliedar izrađen je od papira presavijanjem dvadeset međusobno povezanih jednakokračnih trokuta. Dijagram jasno pokazuje uzorak za izradu figure. Pogledajmo pobliže sve faze stvaranja ikosaedra.

Izrada dvadeseterodra

Ikosaedar se sastoji od jednakokračnih trokuta jednakih veličina. Može se lako sklopiti pomoću razvoja prikazanog na slici 2. Uzmite pravokutni komad papira. Na njemu nacrtajte dvadeset trokuta iste veličine i oblika, poredajući ih u četiri reda. U ovom slučaju, svaka strana jednog će istovremeno biti strana drugog. Upotrijebite dobiveni predložak da napravite prazninu. Razlikovat će se od osnovnog razvrtača u prisutnosti dodataka za lijepljenje duž svih vanjskih linija. Nakon što ste izrezali prazninu iz papira, savijte je duž linija. Kada oblikujete poliedar od papira, zatvorite vanjske redove jedan s drugim. U tom će se slučaju vrhovi trokuta spajati u jednu točku.

Pravilni poliedri

Sve figure se međusobno razlikuju po različitom broju lica i njihovom obliku. Osim toga, neki se modeli mogu saviti iz jednog lista (kao što je opisano u primjeru izrade ikosaedra), drugi - samo sastavljanjem nekoliko modula. Pravilni poliedri se smatraju klasičnim. Izrađene su od papira, pridržavajući se glavnog pravila simetrije - prisutnost potpuno identičnih rubova u predlošku. Postoji pet glavnih vrsta takvih figura. Tablica pruža informacije o njihovim nazivima, brojevima i oblicima rubova:

Raznolikost figura

Na temelju pet gore navedenih vrsta, koristeći vještinu i maštu, majstori mogu lako konstruirati mnogo različitih papirnatih modela. Poliedar se može potpuno razlikovati od pet gore opisanih figura, formirajući se istodobno od lica različitih oblika, na primjer, od kvadrata i trokuta. Tako se dobivaju Arhimedova tijela. A ako preskočite jedan ili više rubova, dobit ćete otvorenu figuru, vidljivu i izvana i iznutra. Za izradu trodimenzionalnih modela koriste se posebni uzorci, izrezani iz prilično debelog papira koji dobro drži oblik. Od papira izrađuju i posebne poliedre. Dizajni takvih proizvoda osiguravaju prisutnost dodatnih, izbočenih modula. Pogledajmo načine kako konstruirati vrlo lijepu figuru koristeći dodekaedar kao primjer (slika 3).

Kako napraviti poliedar s dvanaest vrhova od papira: prva metoda

Ova se figura također naziva zvjezdasti dodekaedar. Svaki njegov vrh na svojoj bazi je Stoga se takvi poliedri izrađuju od papira na dva načina. Sheme za proizvodnju malo će se razlikovati jedna od druge. U prvom slučaju, ovo je jedan dio (slika 4), kao rezultat preklapanja kojeg se dobiva gotov proizvod. Osim glavnih lica, crtež sadrži spojne dijelove za lijepljenje, zahvaljujući kojima se lik zatvara u jednu cjelinu. Da biste napravili poliedar drugom metodom, morate zasebno napraviti nekoliko šablona. Pogledajmo pobliže proces rada.

Kako napraviti poliedar od papira: druga metoda

Napravite dva glavna predloška (slika 5):

- Prvi. Nacrtajte krug na listu i podijelite ga poprečno na dva dijela. Jedan će biti osnova za uzorak, odmah obrišite luk drugog radi praktičnosti. Podijelite dio na pet jednakih dijelova i ograničite sve radijuse na poprečne segmente. Rezultat će biti pet identičnih jednakokračnih trokuta povezanih zajedno. Nacrtajte pored srednjeg segmenta točno isti polukrug, samo u zrcalnoj slici. Kada se presavije, dobiveni dio izgleda kao dva stošca. Napravite ukupno šest takvih sličnih šablona. Za njihovo lijepljenje koristi se drugi dio koji će biti postavljen unutra.

- Drugi. Ovaj uzorak je petokraka zvijezda. Ispunite istih dvanaest praznina. Da bi se formirao poliedar, svaka od zvijezda sa svojim krajevima savijenim prema gore postavlja se unutar konusnih dijelova i lijepi na rubove.

Potpuna montaža figure dobiva se povezivanjem dvostrukih blokova s ​​dodatnim komadima papira, pomicanjem prema unutra. Prilikom modeliranja proizvoda prilično je problematično napraviti ih različite veličine. Gotovi modeli papirnatih poliedara nije tako lako povećati. Da bi se to postiglo, nije dovoljno samo napraviti dopuštenja duž svih vanjskih granica. Morate skalirati svako lice zasebno. To je jedini način da dobijete uvećanu kopiju originalnog modela. Koristeći drugu metodu izrade poliedra, to je mnogo lakše učiniti, jer će biti dovoljno povećati početne praznine, od kojih je već napravljen potreban broj pojedinačnih dijelova.

Možete pronaći mnogo zanimljivih stvari za sebe u onim područjima znanosti koja, čini se, nikada ne bi bila korisna u uobičajenom životu jednostavnog čovjeka na ulici. Recimo, geometrija, na koju većina ljudi zaboravi čim prijeđe prag škole. Ali na čudan način, nepoznata područja znanosti postaju vrlo fascinantna kada im se približite. Tako geometrijski razvoj poliedra - potpuno nepotrebne stvari u svakodnevnom životu - može postati početak uzbudljive kreativnosti koja može očarati i djecu i odrasle.

Prekrasna geometrija

Uređenje interijera vašeg doma stvaranjem neobičnih, stilskih stvari vlastitim rukama uzbudljiva je kreativnost. Sami izraditi različite poliedre od debelog papira znači stvarati jedinstvene stvari koje mogu biti samo aktivnost dan ili dva ili se mogu pretvoriti u dizajnerski ukras interijera. Osim toga, s razvojem tehnologije sposobne za prostorno modeliranje svih vrsta stvari, postalo je moguće stvoriti moderne i moderne 3D modele. Postoje majstori koji, konstruirajući uzorke prema zakonima geometrije, izrađuju papirnate modele životinja i raznih predmeta. Ali ovo je prilično složena matematička i crtačka kreativnost. Pomoći će početi raditi u takvoj tehnologiji

Različita lica - različiti oblici

Poliedri su posebno područje geometrije. One mogu biti jednostavne – primjerice, kocke s kojima se djeca igraju od malih nogu – a mogu biti i vrlo, vrlo složene. Izgradnja razmatra se razvoj poliedara za lijepljenje prilično složeno područje dizajna i kreativnosti: ne morate samo znati osnove crtanja, geometrijske značajke prostora, već i imati prostornu maštu, koja vam omogućuje procjenu ispravnosti rješenja u fazi projektiranja. Ali ne možete proći samo svojom maštom. Napraviti Nije dovoljno samo zamisliti kako bi rad na kraju trebao izgledati. Morate ga moći ispravno izračunati, dizajnirati i također ispravno nacrtati.

Prvi poliedar - kocka

Najvjerojatnije je svaka osoba koja je pohađala školu, čak iu osnovnoj školi, bila suočena s radom na satovima rada, čiji je rezultat trebala biti kocka od papira. Učitelj je najčešće dijelio praznine -skenovi kockastog poliedra na debelom papiru s posebnim džepovima namijenjenim za lijepljenje lica modela u jednu cjelinu. Učenici osnovnih škola mogli su se pohvaliti ovakvim radom jer su uz pomoć papira, škara, ljepila i vlastitog truda izradili zanimljivu rukotvorinu – trodimenzionalnu kocku.

Zabavni aspekti

Iznenađujuće, mnogo znanja o svijetu oko nas postaje zanimljivo ne u školi, već samo kada se u njemu može pronaći nešto fascinantno, sposobno dati nešto novo i neobično u svakodnevnom životu. Malo se odraslih sjeća da su isti poliedri podijeljeni u ogroman broj vrsta i podvrsta. Na primjer, postoje takozvana Platonova tijela - konveksni poliedri, koji se sastoje od samo pet takvih tijela: tetraedar, oktaedar, heksaedar (kocka), ikozaedar, dodekaedar. To su konveksne figure bez udubljenja. Zvjezdasti poliedri sastoje se od ovih osnovnih oblika u različitim konfiguracijama. Zatorasklapanje jednostavnog poliedra omogućuje crtanje, bolje rečeno crtanje, a zatim lijepljenje zvjezdanog poliedra s papira.

Pravilni i nepravilni zvjezdasti poliedri

Zbrajanjem Platonovih tijela određenim redoslijedom, možete izgraditi mnoge poligone u obliku zvijezde - lijepe, složene, višekomponentne. Ali oni će se zvati "nepravilni zvjezdasti poliedri". Postoje samo četiri pravilna zvjezdana poliedra: mali zvjezdasti dodekaedar, veliki zvjezdani dodekaedar, veliki dodekaedar i veliki ikosaedar. Razvoj poliedara za lijepljenje neće biti jednostavni crteži. Oni će se, kao i figure, sastojati od nekoliko komponenti. Na primjer, mali zvjezdasti dodekaedar izgrađen je od 12 peterokutnih jednakokračnih piramida, presavijenih poput pravilnog dodekaedra. To jest, prvo ćete morati nacrtati i zalijepiti 12 identičnih komada pravilnih piramida, koji se sastoje od 5 jednakih lica. I tek tada se mogu sastaviti zvjezdasti poliedar. Rasklapanje najmanje zvijezde dodekaera težak je i gotovo nemoguć zadatak. Da biste ga izgradili, morate biti u mogućnosti smjestiti 13 skenova različitih geometrijskih volumetrijskih tijela međusobno povezanih na jednu ravninu.

Ljepota je u jednostavnosti

Sva volumetrijska tijela izgrađena prema zakonima geometrije izgledat će fascinantno, uključujući zvjezdasti poliedar. Razvoj svakog elementa bilo kojeg takvog tijela mora biti izveden što je točnije moguće. Pa čak i najjednostavniji trodimenzionalni poliedri, počevši od Platonova tetraedra, nevjerojatna su ljepota sklada svemira i ljudskog rada, utjelovljena u papirnatom modelu. Ovdje je, na primjer, najrazličitiji platonski konveksni poliedar - dodekaedar. Ova geometrijska figura ima 12 potpuno identičnih stranica, 30 rubova i 12 vrhovaPrilikom razvijanja pravilnih poliedra za lijepljenje, morate primijeniti maksimalnu točnost i brigu. A što je brojka veća, to bi sva mjerenja trebala biti preciznija.

Kako sami izraditi sken?

Možda je, osim lijepljenja poliedra - bilo da je u obliku zvijezde ili Platona - još zanimljivije samostalno graditi razvoj budućeg modela, procjenjujući svoje sposobnosti crtanja, dizajna i prostorne mašte. Jednostavna Platonova tijela sastoje se od jednostavnih poligona koji su međusobno identični u jednoj slici. Dakle, tetraedar su tri jednakokračna trokuta. Prije nego što konstruirate mrežu, morate zamisliti kako pravilno zbrajati ravne poligone da biste dobili poliedar. Trokuti se mogu spojiti jedan s drugim po rubovima crtanjem jedan do drugog. Za lijepljenje Razvoj poliedara dijagrama mora biti opremljen posebnim džepovima ili ventilima koji će omogućiti da se svi dijelovi povežu u jednu cjelinu. Tetraedar je najjednostavniji lik s četiri lica. Oktaedar se može smatrati dvostrukim tetraedrom i ima osam garneisa - jednakokračnih trokuta. Heksahedron je kocka koja je svima poznata od djetinjstva. Ikosaedar je kombinacija 20 jednakokračnih trokuta u pravilni konveksni poliedar. Dodekaedar je trodimenzionalna figura od 12 lica, od kojih je svako pravilan peterokut.

Suptilnosti rada

Konstruiranje razvoja poliedra i lijepljenje papirnatog modela iz njega je delikatna stvar. Naravno, možete uzeti gotovu sken. Ili ga možete, uz malo truda, izgraditi sami. Ali da biste napravili punopravni trodimenzionalni model poliedra, morate ga sastaviti. Poliedar je najbolje napraviti od debelog papira koji dobro drži oblik i ne savija se od ljepila. Najbolje je prvo pritisnuti sve crte koje je potrebno saviti, primjerice kemijskom olovkom koja ne piše ili stražnjom stranom oštrice noža. Ova nijansa pomoći će točnijem savijanju modela, poštujući dimenzije i smjerove rebara.

Ako napravite različite poliedre od papira u boji, onda se takvi modeli mogu koristiti kao ukrasni elementi za uređenje sobe - dječje sobe, ureda, dnevnog boravka. Usput, poliedri se mogu nazvati jedinstvenim otkrićem za dekoratere. Moderni materijali omogućuju stvaranje originalnih interijera na temelju geometrijskih oblika.

Stvaranje zanata vlastitim rukama zanimljivo je ne samo djeci, već i odraslima. Međutim, za odrasle je izumljen dovoljan broj modela koji se razlikuju po složenosti implementacije i vremenu utrošenom na njihovo stvaranje. Nedavno su odrasli i djeca postali zainteresirani za stvaranje složenih geometrijskih oblika. Ova vrsta figure uključuje ikosaedar, koji je pravilan mnogokut i jedno je od Platonovih tijela - pravilnih poliedra. Ova figura ima 20 trokutastih stranica (jednakostraničnog trokuta), 30 bridova i 12 vrhova, koji su spoj 5 bridova. Sastavljanje ispravnog ikosaedra od papira prilično je teško, ali zanimljivo. Ako ste strastveni o origamiju, onda vam neće biti teško napraviti papirnati ikosaedar vlastitim rukama. Izrađuje se od obojenog, valovitog papira, folije i papira za zamatanje cvijeća. Koristeći razne materijale, svom ikosaedru možete dodati još veću ljepotu i učinkovitost. Sve ovisi samo o mašti njegovog tvorca i dostupnom materijalu na stolu.

Nudimo vam nekoliko opcija za razvoj ikosaedra, koji se mogu ispisati, prenijeti na debeli papir i karton, savijati po linijama i lijepiti.

Kako napraviti ikosaedar od papira: dijagram

Da biste sastavili ikosaedar od lista papira ili kartona, prvo morate pripremiti sljedeće materijale:

• raspored ikosaedra;
• PVA ljepilo;
• škare;
• vladar.

Prilikom izrade ikosaedra važno je obratiti posebnu pozornost na proces savijanja svih dijelova: kako biste ravnomjerno savijali papir, možete koristiti obično ravnalo.

Važno je napomenuti da se ikosaedar može naći iu svakodnevnom životu. Na primjer, nogometna lopta napravljena je u obliku krnjeg ikosaedra (poliedar koji se sastoji od 12 peterokuta i 20 šesterokuta pravilnog oblika). To je posebno vidljivo ako dobiveni ikosaedar obojite crno-bijelo, kao i samu loptu.

Takvu nogometnu loptu možete napraviti sami tako da prvo isprintate sken krnjeg ikosaedra u 2 primjerka:

Stvaranje ikosaedra vlastitim rukama zanimljiv je proces koji zahtijeva pažljivost, strpljenje i puno papira. Međutim, konačni rezultat dugo će ugoditi oku. Ikosaedar se može dati djetetu da se s njim igra ako je već navršilo tri godine. Igrajući se s tako složenim geometrijskim likom, razvit će ne samo maštovito razmišljanje i prostorne vještine, već će se i upoznati sa svijetom geometrije. Ako odrasla osoba odluči samostalno izraditi ikosaedar, tada će mu takav kreativni proces konstruiranja ikosaedra omogućiti da prođe vrijeme i svojim voljenima pokaže svoju sposobnost stvaranja složenih oblika.

Općinska obrazovna ustanova Mozharov - Srednja škola Maidanskaya

Nastavni i istraživački rad

na temu

„Neobični poliedri

od papira"

Završeno:

Učenik 9. razreda A.V.Kolbasov

Nadglednik:

učiteljica matematike Pogodina A.A.

Relevantnost odabrane teme:

Vidio sam neobične papirnate poliedre u stilu origamija i odlučio napraviti neke od njih vlastitim rukama.

Cilj:

razvoj spoznajnog interesa za neobične oblike poliedra.

zainteresirati druge za takve neobične poliedre.

Zadaci:

proučavati povijest poliedra;

studijski materijal o izradi poliedra od papira u stilu origamija;

dokazati sebi da to mogu;

pokazati drugima kako se to radi.

Povijest figura

Antička matematička znanost vuče korijene iz daleke prošlosti, u doba procvata starog Rima i Grčke. Tada je bilo uobičajeno povezivati ​​tehničke aspekte s filozofskima. Stoga, prema učenju Platona (jednog od starogrčkih mislilaca), svaki od poliedara, koji se sastoji od određenog broja identičnih ravnina, simbolizira jedan element. Likovi iz trokuta - oktaedar, ikosaedar i tetraedar - povezani su sa zrakom, vodom i vatrom, a mogu se transformirati jedni u druge zbog ujednačenosti lica od kojih svako ima tri vrha. Zemlja je simbolizirana heksaedrom kvadrata. A dodekaedar, zahvaljujući svojim posebnim peterokutnim licima, igra dekorativnu ulogu i prototip je sklada i mira. Također je poznato da je jedan od grčkih matematičara, Euklid, u svom učenju “Elementi” dokazao jedinstvenost spomenutih Platonovih tijela i njihovo svojstvo “uklapanja” u sferu.

Pravilni poliedri

Sve figure se međusobno razlikuju po različitom broju lica i njihovom obliku. Osim toga, neki se modeli mogu saviti iz jednog lista (kao što je opisano u primjeru izrade ikosaedra), drugi - samo sastavljanjem nekoliko modula. Pravilni poliedri se smatraju klasičnim. Izrađene su od papira, pridržavajući se glavnog pravila simetrije - prisutnost potpuno identičnih rubova u predlošku. Postoji pet glavnih vrsta takvih figura. Tablica pruža informacije o njihovim nazivima, brojevima i oblicima rubova:

Papirnati obrti nisu samo razne razglednice i aplikacije izrađene u obliku ravnih proizvoda. Trodimenzionalni modeli figura ispadaju vrlo originalni (slika 1). Na primjer, možete konstruirati poliedar od papira. Pogledajmo neke načine kako to učiniti pomoću dijagrama i fotografija.

Prikazani poliedar izrađen je od papira presavijanjem dvadeset međusobno povezanih jednakokračnih trokuta. Dijagram jasno pokazuje uzorak za izradu figure. Pogledajmo pobliže sve faze stvaranja ikosaedra. Izrada 20-edra Ikosaedar se sastoji od jednakokračnih trokuta jednakih veličina. Može se lako sklopiti pomoću razvoja prikazanog na slici 2. Uzmite pravokutni komad papira. Na njemu nacrtajte dvadeset trokuta iste veličine i oblika, poredajući ih u četiri reda. U ovom slučaju, svaka strana jednog će istovremeno biti strana drugog. Upotrijebite dobiveni predložak da napravite prazninu. Razlikovat će se od osnovnog razvrtača u prisutnosti dodataka za lijepljenje duž svih vanjskih linija. Nakon što ste izrezali prazninu od papira, savijte je duž linija. Kada formirate poliedar od papira, zatvorite vanjske redove jedan s drugim. U tom će se slučaju vrhovi trokuta spajati u jednu točku.

Raznolikost figura

Na temelju pet gore navedenih vrsta, koristeći vještinu i maštu, majstori mogu lako konstruirati mnogo različitih papirnatih modela. Poliedar se može potpuno razlikovati od pet gore opisanih figura, formirajući se istodobno od lica različitih oblika, na primjer, od kvadrata i trokuta. Tako se dobivaju Arhimedova tijela. A ako preskočite jedan ili više rubova, dobit ćete otvorenu figuru, vidljivu i izvana i iznutra. Za izradu trodimenzionalnih modela koriste se posebni uzorci, izrezani iz prilično debelog papira koji dobro drži oblik. Od papira izrađuju i posebne poliedre. Dizajni takvih proizvoda osiguravaju prisutnost dodatnih, izbočenih modula. Pogledajmo načine kako konstruirati vrlo lijepu figuru koristeći dodekaedar kao primjer (slika 3).Kako napraviti poliedar s dvanaest vrhova iz papira: prva metoda Ova se figura naziva i zvjezdasti dodekaedar. Svaki njegov vrh u osnovi je pravilan peterokut. Stoga se takvi poliedri izrađuju od papira na dva načina. Sheme za proizvodnju malo će se razlikovati jedna od druge. U prvom slučaju radi se o jednom dijelu (slika 3),

kao rezultat preklapanja dobiva se gotov proizvod. Osim glavnih lica, crtež sadrži spojne dijelove za lijepljenje, zahvaljujući kojima se lik zatvara u jednu cjelinu. Da biste napravili poliedar drugom metodom, morate zasebno napraviti nekoliko šablona. Pogledajmo pobliže proces rada. Kako napraviti poliedar od papira: druga metoda Napravite dva glavna predloška

Prvi. Nacrtajte krug na listu i podijelite ga poprečno na dva dijela. Jedan će biti osnova za uzorak, odmah obrišite luk drugog radi praktičnosti. Podijelite dio na pet jednakih dijelova i ograničite sve radijuse na poprečne segmente. Rezultat će biti pet identičnih jednakokračnih trokuta povezanih zajedno. Nacrtajte pored srednjeg segmenta točno isti polukrug, samo u zrcalnoj slici. Kada se presavije, dobiveni dio izgleda kao dva stošca. Napravite ukupno šest takvih sličnih šablona. Za njihovo lijepljenje koristi se drugi dio koji će biti postavljen unutra.

Drugi. Ovaj predložak je petokraka zvijezda. Ispunite istih dvanaest praznina. Da bi se formirao poliedar, svaka od zvijezda sa svojim krajevima savijenim prema gore postavlja se unutar konusnih dijelova i lijepi na rubove. Potpuna montaža figure dobiva se povezivanjem dvostrukih blokova s ​​dodatnim komadima papira, pomicanjem prema unutra. Prilikom modeliranja proizvoda prilično je problematično napraviti ih različite veličine. Gotovi modeli papirnatih poliedara nije tako lako povećati. Da bi se to postiglo, nije dovoljno samo napraviti dopuštenja duž svih vanjskih granica. Morate skalirati svako lice zasebno. To je jedini način da dobijete uvećanu kopiju originalnog modela. Koristeći drugu metodu izrade poliedra, to je mnogo lakše učiniti, jer će biti dovoljno povećati početne praznine, od kojih je već napravljen potreban broj pojedinačnih dijelova.

Dodekaedar u tehnici origami

Origami modul izvrsna je osnova za dodekaedar. Trebat će vam 30 pravokutnih ili kvadratnih listova papira. Svaki od listova je presavijen na pola, a zatim svaku polovicu treba saviti u suprotnom smjeru - dobivate "harmoniku" u četiri nabora. Ponekad, ako list nije četvrtast, naprave "harmoniku" u tri nabora. Kao rezultat toga, u rukama imate usku traku za ugljen. Zatim, na svakoj strani pravokutnika duž uske strane, trebate saviti kut. Kutovi se savijaju u jednom smjeru - to su budući pričvršćivači koji će biti uvučeni u harmoniku. Zatim savijte modul prema unutra dijagonalno od malih bočnih uglova. Dakle, jedan modul za origami dodekaedar je trodimenzionalan, uključuje dva ruba buduće figure i kutove. Kada su svi moduli spremni, montaža može početi.

Montaža počinje s jednom jedinicom, za koju trebate uzeti tri modula. Na slici ispod ovo su plavi, ružičasti i žuti origami moduli. Dijagrami montaže su prilično jednostavni, pa se čak i početnici lako mogu nositi s takvim figurama (36 praznina).

Koje se zanate mogu napraviti na temelju dodekaedra?

Svaka strana papirnatog dodekaedra je ravan peterokut, koji sam po sebi može biti osnova za širok izbor bizarnih oblika. Na primjer, na fotografiji ispod peterokut je zamijenjen petokrakom zvijezdom.

Na takvoj figuri nema rebara, iako bi trebala biti. Kako napraviti papirnati dodekaedar u obliku zvijezde? U gore predstavljenom razvoju, zamijenite svaki peterokut potrebnom petokrakom i spojite ih ne duž rubova, već na vrhovima. Ova fotografija prikazuje zvjezdasti dodekaedar. Svaka "zraka" temelji se na istom peterokutu. Umjesto peterokutnih piramida može se napraviti bilo koja trodimenzionalna figura.

Poliedar nad tetraedarima.

Izrađujemo 30 modula (prazne)

Zaključak: Izrada neobičnih poliedra od papira u stilu origamija razvija prostornu maštu, poboljšava motoričke sposobnosti prstiju i čini osobu svrhovitijom i marljivijom.

papirnati modeli

Prilikom konstruiranja papirnatih modela poliedra, preporučujem da postupite na sljedeći način:

1. Napravite crteže rubova. Ako želite izraditi model srednje veličine, možete jednostavno ispisati crteže koji se nalaze na stranici posvećenoj odgovarajućem poliedru. Ako želite izraditi model druge veličine, morate sami dovršiti crtež. Budite vrlo oprezni, točnost crteža određuje koliko će dobro dijelovi pristajati.

2. Napravite šablonu prema crtežu. Da biste to učinili, stavite crtež na list debelog kartona i probušite oba lista na vrhovima poligona iglom ili tankim šilom. Oštrom olovkom povežite dobivene ubode duž ravnala. Pažljivo izrežite šablonu nožem ili škarama, odmaknuvši se od linije olovke za oko 0,5 cm.

3. Odaberite materijal od kojeg ćete izraditi model. Za modele srednje veličine, debeli papir za crtanje je dobar. Također je dobro koristiti tanki sjajni karton. Ako radite veliki model, potrebno je odabrati gušći materijal kako se model ne bi srušio od vlastite težine. Ako izrađujete model u boji, trebate upotrijebiti materijal u boji ili ga sami obojiti prije izrade praznina.

4. Pomoću šablone napravite potreban broj praznina. Da biste napravili prazninu, stavite matricu na list materijala koji ste odabrali za model i napravite rupe u vrhovima poligona. Sada oštrim predmetom - iglom ili šilom - nacrtajte granice i linije savijanja između uboda. Ako koristite dovoljno debeli karton, možete upotrijebiti vrlo oštar nož umjesto igle da pažljivo prerežete karton do trećine puta.

5. Izrežite dijelove, ostavljajući polja naljepnica s kojima će se dijelovi spajati, veličine od 0,3 do 0,5 cm. Postoji nekoliko tehnologija za spajanje dijelova (o njima se govori u nastavku); ostavite one naljepnice koje su potrebne za tehnologiju koju odaberete. Izrežite kutove obratka tako da rez prolazi točno kroz ubod.

6. Pažljivo savijte dijelove duž linija koje ste nacrtali. Ako je preklop jako dugačak (više od 8 cm), kako se izradak ne bi naborao, upotrijebite ravnalo, pritiskajući njime izradak duž linije savijanja.

7. Ovaj korak možete preskočiti, ali ako radite jednobojni model, ovaj tretman će vam uvelike pomoći. Nakon što odlijepite naljepnice, pažljivo obojite rebra budućeg modela crnom tintom. Kako biste izbjegli mrlje na radnim dijelovima, bojite rebra jedno po jedno, bez započinjanja sljedećeg dok se prethodno ne osuši. Vrlo je zgodno raditi na “tekući” način, izrađujući više identičnih komada u isto vrijeme - bojite jedan rub svakog komada, a kada obradite zadnji dio, prvi je potpuno suh i možete početi bojati sljedeći rub.

8. Ako model ima jako oštre poligonalne kutove, dodatno obrežite kutove naljepnica. To se ne smije učiniti prerano jer će inače biti teško pažljivo odlijepiti naljepnice. Pokušajte ostaviti što više prostora za lijepljenje. Odrežite tek toliko da naljepnice ne smetaju rubovima i jedna drugoj u blizini vrhova poliedra.

9. Kada su svi dijelovi spremni, možete početi lijepiti model. Postoje četiri načina lijepljenja dijelova:

Dvostruke naljepnice. Naljepnice su zadržane na svakom rubu svakog dijela. Naljepnice su zalijepljene jedna za drugu, ostaju unutar modela; rezultat su rebra dvostruke debljine. Ova rebra čine model vrlo krutim i izdržljivim.
Pojedinačne naljepnice. Naljepnica se ostavi samo na jednom dijelu i zalijepi na drugi. Ova metoda je loša jer lijepljenje ispada asimetrično i model je neuredan. Ne preporučujem korištenje ove metode. Međutim, u proizvodnji nekih modela, prilikom spajanja pojedinih dijelova, potrebno je koristiti ovu posebnu metodu, jer nije moguće napraviti dvostruku naljepnicu. O svim takvim slučajevima u tekstu se posebno govori.
Čeono lijepljenje. Metoda zahtijeva vrlo veliku točnost. Kod lijepljenja od kraja do kraja ne ostaju nikakve naljepnice. Dijelovi se spajaju bez ljepila, a zatim se ljepilom gusto nanosi rub između njih. Dijelovi se moraju držati dok se ljepilo ne osuši. Ovu metodu treba koristiti samo pri izradi relativno jednostavnih modela (gdje se dijelovi mogu lako držati dok se ne osuše) od vrlo gustog materijala. Osim toga, ponekad se vrlo mali dijelovi moraju pričvrstiti "od kraja do kraja" - tako mali da je gotovo nemoguće napraviti naljepnicu.
Lijepljenje dodatnim materijalom. Naljepnice se, kao ni kod sučeonog lijepljenja, ne izrađuju. Dijelovi se spajaju trakom tankog papira (na primjer, paus papira) premazanog ljepilom ili trakom. Teško je na ovaj način napraviti točan model.
Važan je izbor ljepila. Prije izrade modela isprobajte ljepilo na komadima istog papira s kojim ćete raditi. Potrebno je da ljepilo nakon sušenja ne iskrivi papir i ne ostavi mrlje na njemu. Osim toga, ljepilo bi se trebalo stvrdnuti dovoljno brzo (manje od minute, tako da ne morate držati dijelove nekoliko dana), ali ne odmah (tako da možete malo pomaknuti već spojene dijelove kako biste postigli uredan rezultat ). Posljednji, ali vrlo važan uvjet je da ljepilo ne smije biti otrovno. Ako ćete raditi model, nećete moći raditi u napi i morat ćete udisati pare ljepila koje se suši.

Od dostupnih ljepila, najbolje je koristiti PVA. Ovo ljepilo ispunjava sve zahtjeve. Bezbojan je i ne savija papir, stvrdnjava se za 10-20 sekundi i potpuno je netoksičan (oslobađa vodenu paru kada se osuši). Osim toga, PVA se može razrijediti vodom do željene gustoće. Činjenica je da je ponekad (na primjer, pri lijepljenju velikih dijelova) prikladnije raditi s tekućim ljepilom, koje se postavlja malo sporije, ali u drugim slučajevima (za male ili teško dostupne dijelove) želite da ljepilo postaviti brže. Možete, naravno, koristiti nekoliko različitih ljepila, ali korištenje mješavine PVA i vode u pravom omjeru mnogo je praktičnije. Maksimalno preporučeno razrjeđenje je 1:1, ali najčešće se koristi mješavina jednog dijela vode i dva dijela ljepila.

Postupak lijepljenja je prilično jednostavan. Na obje naljepnice nanesete ravnomjeran tanak sloj ljepila i pritisnete ih jednu za drugu. Dijelove treba lagano pomicati kako bi se ljepilo ravnomjerno rasporedilo po naljepnicama. Nakon što su dijelovi u ispravnom položaju, treba ih čvrsto pritisnuti i pričekati da se ljepilo osuši. S vremena na vrijeme morate koristiti pincetu ili, još bolje, kiruršku pincetu. Ovi alati su posebno korisni u završnim fazama kada morate raditi unutar modela kroz malu rupu. Osim toga, pri izradi složenih modela ponekad je potrebno koristiti široke ravne stezaljke za držanje naljepnica dok se ljepilo potpuno ne osuši.

Primjeri.

Tetraedar

Tetraedar pripada obitelji Platonovih tijela, to jest, pravilni konveksni poliedari su mu plohe jednakostraničnog trokuta njegova lica su identični pravilni poligoni, svi njegovi poliedarski kutovi su jednaki.

Tetraedar je prostorni analog ravnog jednakostraničnog trokuta jer ima najmanji broj stranica koje odvajaju dio trodimenzionalnog prostora. Model tetraedra omogućuje bojanje u četiri boje koje zadovoljava princip bojanja karata. Započnite izradu modela s četiri praznine. Ne zaboravite ostaviti naljepnice sa svake strane. Zalijepite tri praznine na strane četvrte. Dobit ćete veliki trokut koji se sastoji od četiri praznine. Spojite nezalijepljene bočne rubove i zalijepite po dva. Zatim prekrijte preostale naljepnice ljepilom i zalijepite zadnji rub, kao da zatvarate kutiju. Držite model neko vrijeme za rebra kako biste omogućili unutarnjim naprezanjima i ljepilu da završe svoj posao.

Ime tetraedar
oznaka 3|2 3
lica 4
rebra 6
vrhovi 4
nekonveksna lica 0
rub

količina 4

Dodekaedar

Dodekaedar je predstavnik obitelji Platonovih tijela, odnosno pravilnih konveksnih poliedra. Dodekaedar ima dvanaest peterokutnih lica, koja se sastaju po tri u vrhovima. Ovaj poliedar je izvanredan po svoja tri oblika u obliku zvijezde.

Dodekaedar dopušta dvije zanimljive boje. Prvi je bojanje u četiri boje. Međutim, ovim bojanjem suprotna lica koja leže u paralelnim ravninama dobivaju drugu boju. Druga opcija je bojanje u šest boja, u kojima su suprotni rubovi obojeni jednako.

Prva opcija bojanja - 4 boje

Druga opcija bojanja - 6 boja

Izrada modela počinje lijepljenjem pet peterokuta na jedan središnji peterokut. Nakon toga, bočni peterokuti se lijepe zajedno - i polovica modela je spremna. Ostaje samo zalijepiti preostale rubove na njega.

Ime dodekaedar
oznaka 3|2 5
lica 12
rebra 30
vrhovi 20
nekonveksna lica 0
rub

količina 12

Ikozaedar

Ikozaedar je predstavnik obitelji Platonovih tijela, odnosno pravilnih konveksnih poliedara. Ikosaedar ima dvadeset trokutastih lica, koja se spajaju u vrhovima od pet.

Ikosaedar ima dvije spektakularne petobojne boje. Prvo, može se obojiti tako da svaki vrh ima svih pet boja (ali suprotni rubovi neće biti jednako obojeni). S drugom opcijom bojanja, suprotni rubovi obojeni su jednako, ali na svim vrhovima, osim na dva dijametralno suprotna "pola", jedna od boja pojavljuje se dva puta.

Prva opcija bojanja

Druga opcija bojanja

Model možete početi graditi lijepljenjem pet trokuta u nisku peterokutnu piramidu bez baze. Sljedećih pet trokuta zalijepljeno je na stranice njegove baze. Između njih zalijepite jedan trokut - pet lica bi se trebalo susresti na svakom vrhu. Na kraju, da dovršite model, zalijepite zadnjih pet trokuta.

Ime ikosaedar
oznaka 5|2 3
lica 20
rebra 30
vrhovi 12
nekonveksna lica 0
rub

količina 20

Rombikuboktaedar

Rombikuboktaedar pripada obitelji Arhimedovih tijela, odnosno polupravilnih konveksnih poliedara. Naziv poliedra objašnjava njegovo podrijetlo - dobiva se rombičnim skraćivanjem kuboktaedra. Najprirodnija boja ovog tijela je kada su mnoga kvadratna lica podijeljena u dva raznobojna podskupa - kubičnog i rombičnog porijekla, a trokuti naslijeđeni od oktaedra dobivaju treću boju.

Rombokuboktaedar je posebno zanimljiv zbog svoje povezanosti s pseudorhombokuboktaedrom, poliedrom koji također pripada obitelji Arhimedovih tijela, ali je otkriven tek u 20. stoljeću.
Prilikom izrade ovog modela možete započeti lijepljenjem pet kvadrata u neku vrstu križa. Zatim se između četiri kvadrata križa zalijepe trokuti i imate zdjelu s osmerokutnim gornjim rubom. Na labave naljepnice zalijepljeno je osam kvadrata. Nakon toga je lako dovršiti model lijepljenjem dijelova jedan po jedan. Bilo koji trokut se lijepi posljednji.

Ime rombikuboktaedar
oznaka 3 4|2
lica 26
rebra 48
vrhovi 24
nekonveksna lica 0
rub

količina 8 18

Rombični krnji ikozidodekaedar

Rombični krnji ikozidodekaedar pripada obitelji Arhimedovih tijela, odnosno polupravilnih konveksnih poliedara. Dobiva se iz ikozidodekaedra korištenjem različite verzije rombičnog skraćivanja od rombikozidodekaedra. Ovaj poliedar omogućuje jednostavno bojanje - svi dekagoni preostali od dodekaedra obojeni su u jednu boju, šesterokuti naslijeđeni od oktaedra - u drugu, kvadrati rombičkog porijekla - u treću.
Da biste izgradili model, okružite deseterokut naizmjeničnim kvadratima i šesterokutima. Pričvrstite sljedeće deseterokute, okružujući ih prstenovima rubova druge dvije vrste. Kao rezultat toga, svaka dva dekagona bit će odvojena takvim prstenom.

Ime rombični krnji ikozidodekaedar
oznaka 2 3 5|
lica 62
rebra 180
vrhovi 120
nekonveksna lica 0
rub

količina 30 20 12

Veliki dodekaedar

Veliki dodekaedar pripada obitelji Kepler-Poinsotovih tijela, odnosno pravilnih nekonveksnih poliedra. Lica velikog dodekaedra su peterokuti koji se sijeku. Vrhovi velikog dodekaedra poklapaju se s vrhovima opisanog ikosaedra.

Veliki dodekaedar prvi je opisao Louis Poinsot 1809.

Veliki model dodekaedra omogućuje bojanje u šest boja, pri čemu paralelne plohe dobivaju istu boju. Ovo bojanje zadovoljava princip bojanja karata.
Za izradu modela, spojite praznine zajedno da dobijete 20 trokutastih piramida s naljepnicama okrenutim prema van. Zatim zalijepite piramide na način koji podsjeća na metodu lijepljenja ikosaedra.
Ime veliki dodekaedar
oznaka 5/2 2|5
lica 12
rebra 30
vrhovi 12
nekonveksna lica 0
rub

količina 12

Oktahemioktaedar

Ovaj poliedar je fasetirani kuboktaedar. Ponekad se naziva i oktatetraedar. Četiri ekvatorijalne šesterokutne plohe poliedra dijele bridove s osam trokutastih ploha.

Drugi fasetirani oblik kuboktaedra je kubohemioktaedar.

Model se može obojiti u pet boja, pri čemu se četiri ekvatorijalna šesterokutna lica obojaju u četiri različite boje, a sva vanjska trokutasta lica dobiju petu boju. Ovo bojanje zadovoljava princip bojanja karata.
Kao i kod izrade modela tetrahemiheksaedra, postoje dva načina izrade ovog modela.

Koristeći prvu metodu, napravite osam tetraedara, ostavljajući utore na nekim njihovim rubovima i jezičke na nekima od njih. Sami odlučite koje naljepnice treba odlijepiti, a koje ostati unutra. Spojite izratke umetanjem pera u odgovarajuće utore.

U drugoj metodi napravite šest zdjelica - piramide bez dna s kvadratnom bazom - i spojite ih dvostruko debelim naljepnicama. Na kraju se lijepe vanjski trokutasti rubovi.
Ime oktahemioktaedar
oznaka 3/2 3|3
lica 12
rebra 24
vrhovi 12
nekonveksna lica 0
rub

količina 8 4

Mali bitrigonalni ikozidodekaedar

Ovaj se poliedar sastoji od 12 pentagrama na plohama dodekaedra i 20 trokuta na plohama ikosaedra. Lako je primijetiti da se na svakom vrhu plohe pojavljuju u tripletima u izmjeničnom redoslijedu, zbog čega se poliedar naziva bitrigonalni ikozidodekaedar.

Pentagrami se mogu obojiti u šest boja tako da suprotne zvijezde budu iste boje. Da biste sačuvali osnovno načelo bojanja karata pri odabiru boja za trokutasta lica, morate se obratiti drugoj shemi za bojanje ikosaedra.

Crtež i opis izrade modela ovog poliedra još nisu dostupni.

Ime mali bitrigonalni ikozidodekaedar
oznaka 3|5/2 3
lica 32
rebra 60
vrhovi 20
nekonveksna lica 12
rub 3 5/2
količina 20 12