O niečo vyššie sme ukázali, že závislosť hmotnosti od rýchlosti a Newtonových zákonov vedie k tomu, že zmeny kinetickej energie telesa, vyplývajúce z práce síl, ktoré naň pôsobia, sú vždy rovnaké.
Predpokladajme, že naše dve telesá s rovnakou hmotnosťou (tie, ktoré sa zrazili) možno „vidieť“, aj keď sú vo vnútri telesa M. Povedzme, že sa zrazili protón a neutrón, ale stále sa pohybujú vo vnútri M. Hmotnosť telesa M , ako sme zistili, sa nerovná 2m 0, ale 2m ω. Túto hmotnosť 2m ω dodávali telesu jeho jednotlivé časti, ktorých pokojová hmotnosť bola 2m 0; To znamená, že nadbytočná hmotnosť kompozitného telesa sa rovná zavedenej kinetickej energii. To samozrejme znamená, že energia má zotrvačnosť. Predtým sme hovorili o zahrievaní plynu a ukázali sme, že keďže sa molekuly plynu pohybujú a pohybujúce sa telesá sa stávajú hmotnejšími, potom keď sa plyn zahrieva a pohyb molekúl sa zvyšuje, plyn sa stáva ťažším. Ale v skutočnosti je táto úvaha celkom všeobecná; Naša diskusia o vlastnostiach nepružnej kolízie tiež ukazuje, že ďalšia hmota sa vždy objaví, aj keď to nie je kinetická energia. Inými slovami, ak sa dve častice spoja a generuje sa potenciál alebo iná forma energie, ak sú časti zloženého telesa brzdené potenciálnou bariérou, čo spôsobuje prácu proti vnútorným silám atď., vo všetkých týchto prípadoch hmotnosť telesa sa stále rovná celkovej vstupnej energii. Takže vidíte, že vyššie odvodené zachovanie hmoty je ekvivalentné zachovaniu energie, preto v teórii relativity nemôžeme hovoriť o nepružných zrážkach, ako to bolo v newtonovskej mechanike. Podľa newtonovskej mechaniky by sa nič strašné nestalo, ak by dve telesá po zrážke vytvorili teleso s hmotnosťou 2 m 0, ktoré by sa nelíšilo od toho, čo by sa stalo, keby boli pomaly priložené k sebe. Samozrejme, zo zákona zachovania energie vieme, že v tele je dodatočná kinetická energia, ale podľa Newtonovho zákona to nijako neovplyvňuje hmotnosť. A teraz sa ukazuje, že je to nemožné: keďže telesá mali pred zrážkou kinetickú energiu, zložené teleso bude ťažšie; to znamená, že to bude iné telo. Ak na seba opatrne priložíte dve telesá, objaví sa teleso s hmotnosťou 2m 0; keď ich stlačíte silou, objaví sa teleso s väčšou hmotnosťou. A ak je hmotnosť iná, potom si to môžeme všimnúť. Zachovanie hybnosti v teórii relativity je teda nevyhnutne sprevádzané zachovaním energie.
Z toho vyplývajú zaujímavé dôsledky. Nech existuje teleso s nameranou hmotnosťou M a predpokladajme, že sa niečo stalo a rozpadlo sa na dve rovnaké časti s rýchlosťami ω a hmotnosťou m ω. Predpokladajme teraz, že tieto časti, pohybujúce sa hmotou, sa postupne spomalili a zastavili. Teraz je ich hmotnosť m 0. Koľko energie dali látke? Podľa vyššie dokázanej vety bude každý kus vydávať energiu (mω - m 0)c 2. Premení sa na rôzne formy, napríklad na teplo, na potenciálnu energiu atď. Keďže 2m ω = M, potom uvoľnená energia E = (M - 2m 0)c 2. Táto rovnica sa použila na odhad množstva energie, ktoré by sa mohlo uvoľniť jadrovým štiepením v atómovej bombe (hoci časti bomby nie sú presne rovnaké, sú približne rovnaké). Bola známa hmotnosť atómu uránu (bola vopred zmeraná) a tiež bola známa hmotnosť atómov, na ktoré bol rozdelený - jód, xenón atď. (nemyslí sa tým hmotnosti pohybujúcich sa atómov, ale odpočinkové omše). Inými slovami, boli známe aj M a potom. Odčítaním jednej hodnoty hmotnosti od druhej môžete odhadnúť, koľko energie sa uvoľní, ak sa M rozpadne „na polovicu“. Z tohto dôvodu všetky noviny považovali Einsteina za „otca“ atómovej bomby. V skutočnosti to znamenalo iba to, že mohol vopred vypočítať uvoľnenú energiu, ak by mu bolo povedané, aký proces nastane. Energia, ktorá by sa mala uvoľniť, keď sa atóm uránu rozpadne, bola vypočítaná len šesť mesiacov pred prvým priamym testom. A akonáhle sa energia skutočne uvoľnila, bola priamo meraná (keby nebolo Einsteinovho vzorca, energia by sa merala iným spôsobom) a od okamihu, keď bola zmeraná, vzorec už nebol potrebný . V žiadnom prípade nejde o znevažovanie Einsteinových zásluh, ale skôr o kritiku novinových vyhlásení a populárnych opisov vývoja fyziky a technológie. Problém, ako zabezpečiť, aby proces uvoľňovania energie prebiehal efektívne a rýchlo, nemá nič spoločné so vzorcom.
Na vzorci záleží aj v chémii. Povedzme, že keby sme odvážili molekulu oxidu uhličitého a porovnali jej hmotnosť s hmotnosťou uhlíka a kyslíka, mohli by sme určiť, koľko energie sa uvoľní, keď uhlík a kyslík tvoria oxid uhličitý. Jediná zlá vec je, že tento hmotnostný rozdiel je taký malý, že je technicky veľmi ťažké uskutočniť experiment.
Teraz prejdime k tejto otázke: je odteraz potrebné pripočítať m 0 c 2 ku kinetickej energii a odteraz povedať, že celková energia objektu sa rovná m c 2? Po prvé, ak by sme videli zložky s pokojovou hmotnosťou vo vnútri objektu M, potom by sme mohli povedať, že časť hmotnosti M je mechanická pokojová hmotnosť komponentov a druhá časť je ich kinetická energia a tretia je potenciál. Hoci v prírode boli skutočne objavené rôzne častice, s ktorými sa vyskytujú práve takéto reakcie (fúzne reakcie do jednej), nie je však možné žiadnym spôsobom rozlíšiť žiadne zložky vo vnútri M. Napríklad rozpad K-mezónu na dva pióny nastáva podľa zákona (16.11), ale nemá zmysel uvažovať, že pozostáva z 2π, pretože sa niekedy rozpadá na 3π!
A preto vzniká nová myšlienka: netreba vedieť, ako sú telá štruktúrované zvnútra; nie je možné a nie je potrebné pochopiť, akú časť energie vo vnútri častice možno považovať za zvyšok energie tých častí, na ktoré sa rozpadne. Je nepohodlné a niekedy nemožné rozložiť celkovú energiu mс 2 tela na pokojovú energiu vnútorných častí, ich kinetickú a potenciálnu energiu; namiesto toho jednoducho hovoríme o celkovej energii častice. „Posúvame pôvod“ energií tak, že k celku pripočítame konštantu m 0 c 2 a povieme, že celková energia častice sa rovná hmotnosti jej pohybu vynásobenej c 2, a keď sa teleso zastaví, jej energia je jeho hmotnosť v pokoji vynásobená c 2.
Nakoniec je ľahké zistiť, že rýchlosť v, hybnosť P a celková energia E spolu jednoducho súvisia. Napodiv, vzorec m=m 0 /√(1 - v 2 /c 2) sa v praxi používa veľmi zriedka. Namiesto toho sú nevyhnutné dva vzťahy, ktoré sa dajú ľahko dokázať.
12.4. Energia relativistickej častice
12.4.1. Energia relativistickej častice
Celková energia relativistickej častice pozostáva z pokojovej energie relativistickej častice a jej kinetickej energie:
E = E 0 + T ,
Ekvivalencia hmotnosti a energie(Einsteinov vzorec) nám umožňuje určiť pokojovú energiu relativistickej častice a jej celkovú energiu takto:
- oddychová energia -
Eo = m0c2,
kde m 0 je pokojová hmotnosť relativistickej častice (hmotnosť častice v jej vlastnej vzťažnej sústave); c je rýchlosť svetla vo vákuu, c ≈ 3,0 ⋅ 10 8 m/s;
- celková energia -
E = mc2,
kde m je hmotnosť pohybujúcej sa častice (hmotnosť častice pohybujúcej sa vzhľadom na pozorovateľa relativistickou rýchlosťou v); c je rýchlosť svetla vo vákuu, c ≈ 3,0 ⋅ 10 8 m/s.
Vzťah medzi masami m 0 (hmotnosť častice v pokoji) a m (hmotnosť pohybujúcej sa častice) sú určené výrazom
Kinetická energia relativistická častica je určená rozdielom:
T = E − E 0 ,
kde E je celková energia pohybujúcej sa častice, E = mc 2 ; E 0 - pokojová energia špecifikovanej častice, E 0 = m 0 c 2 ; hmotnosti m 0 a m súvisia podľa vzorca
m = m 0 1 − v 2 c 2,
kde m 0 je hmotnosť častice v referenčnom rámci, voči ktorej je častica v pokoji; m je hmotnosť častice v referenčnom rámci, voči ktorej sa častica pohybuje rýchlosťou v; c je rýchlosť svetla vo vákuu, c ≈ 3,0 ⋅ 10 8 m/s.
Explicitne Kinetická energia relativistická častica je definovaná vzorcom
T = m c 2 − m 0 c 2 = m 0 c 2 (1 1 − v 2 c 2 − 1) .
Príklad 6. Rýchlosť relativistickej častice je 80 % rýchlosti svetla. Určte, koľkokrát je celková energia častice väčšia ako jej kinetická energia.
Riešenie . Celková energia relativistickej častice pozostáva z pokojovej energie relativistickej častice a jej kinetickej energie:
E = E 0 + T ,
kde E je celková energia pohybujúcej sa častice; E 0 - pokojová energia špecifikovanej častice; T je jeho kinetická energia.
Z toho vyplýva, že kinetická energia je rozdiel
T = E − E 0 .
Požadované množstvo je pomer
E T = E E − E 0 .
Na zjednodušenie výpočtov nájdime prevrátenú hodnotu požadovanej hodnoty:
T E = E − E 0 E = 1 − E 0 E ,
kde E° = m°c2; E = mc2; m 0 - pokojová hmotnosť; m je hmotnosť pohybujúcej sa častice; c je rýchlosť svetla vo vákuu.
Dosadením výrazov pre E0 a E do pomeru (T/E) dostaneme
T E = 1 − m 0 c 2 m c 2 = 1 − m 0 m.
Vzťah medzi hmotnosťami m 0 a m je určený vzorcom
m = m 0 1 − v 2 c 2,
kde v je rýchlosť relativistickej častice, v = 0,80c.
Vyjadrime hmotnostný pomer odtiaľto:
m 0 m = 1 − v 2 c 2
a nahraďte ho do (T/E):
T E = 1 − 1 − v 2 c 2 .
Poďme počítať:
T E = 1 − 1 − (0,80 c) 2 c 2 = 1 − 0,6 = 0,4.
Požadované množstvo je opačný pomer
ET = 10,4 = 2,5.
Celková energia relativistickej častice pri uvedenej rýchlosti prevyšuje jej kinetickú energiu 2,5-krát.
Relativistický impulz: .
Kinetická energia relativistickej častice: 
.
Relativistický vzťah medzi celkovou energiou a hybnosťou: .
Veta o pridávaní rýchlosti v relativistickej mechanike:
Kde u a – rýchlosti v dvoch inerciálnych referenčných systémoch, ktoré sa navzájom pohybujú rýchlosťou zhodujúcou sa v smere s u(znamienko „-“) alebo opačne (znamienko „+“).
MOLEKULÁRNA FYZIKA A TERMODYNAMIKA
Množstvo hmoty: ,
Kde N- počet molekúl, N A- Avogadrova konštanta, m- hmotnosť látky, m- molárna hmota.
Clayperon-Mendelejevova rovnica: ,
Kde P- tlak plynu, V- jeho objem, R- konštantný lakovací plyn, T- absolútna teplota.
Rovnica molekulárnej kinetickej teórie plynu: 
,
Kde n– koncentrácia molekúl, – priemerná kinetická energia translačného pohybu molekuly, m 0 je hmotnosť molekuly a je stredná kvadratická rýchlosť.
Priemerná energia molekuly: ,
Kde i- počet stupňov voľnosti, k– Boltzmannova konštanta.
Vnútorná energia ideálneho plynu: .
Molekulové rýchlosti:
hlavné námestie: 
,
aritmetický priemer: 
,
pravdepodobne: 
.
Priemerná voľná dráha molekuly: ,
Kde d je efektívny priemer molekuly.
Priemerný počet zrážok molekuly za jednotku času:
Distribúcia molekúl v potenciálnom silovom poli: ,
Kde P– potenciálna energia molekuly.
Barometrický vzorec: .
Difúzna rovnica: ,
Kde D- difúzny koeficient, r- hustota, dS– elementárna plocha kolmá na smer, v ktorom dochádza k difúzii.
Rovnica tepelnej vodivosti: , æ ,
kde æ je tepelná vodivosť.
Vnútorná trecia sila: ,
Kde h- dynamická viskozita.
Difúzny koeficient: .
Viskozita (dynamická): 
.
Tepelná vodivosť: æ,
Kde ŽIVOTOPIS– špecifická izochorická tepelná kapacita.
Molárna tepelná kapacita ideálneho plynu:
izochorický: ,
izobarický: 
.
Prvý zákon termodynamiky:
Práce na expanzii plynu počas procesu:
izobarický : ,
izotermický: 
,
izochorický:
adiabatické: ,
Poissonove rovnice:
Účinnosť Carnotovho cyklu: 
,
Kde Q A T– množstvo tepla prijatého z ohrievača a jeho teplota; Q 0 A T 0– množstvo tepla odovzdaného do chladničky a jej teplota.
Zmena entropie pri prechode zo stavu 1 do stavu 2: .
PRÍKLADY RIEŠENIA PROBLÉMOV
1. Pohyb telesa s hmotnosťou 1 kg je daný rovnicou s = 6t3 + 3t + 2. Nájdite závislosť rýchlosti a zrýchlenia od času. Vypočítajte silu pôsobiacu na teleso na konci druhej sekundy.
Riešenie. Okamžitú rýchlosť nájdeme ako deriváciu dráhy vzhľadom na čas: , . Okamžité zrýchlenie je určené prvou deriváciou rýchlosti vzhľadom na čas alebo druhou deriváciou dráhy vzhľadom na čas: , . Sila pôsobiaca na teleso je určená druhým Newtonovým zákonom: , kde podľa podmienok úlohy je zrýchlenie na konci druhej sekundy. Potom, N.
Odpoveď: , , N.
2. Tyč s dĺžkou 1 m sa pohybuje okolo pozorovateľa rýchlosťou o 20 % menšou ako je rýchlosť svetla. Aká bude jeho dĺžka pre pozorovateľa?
Riešenie. Závislosť dĺžky telesa od rýchlosti v relativistickej mechanike vyjadruje vzorec: , kde l 0– dĺžka opornej tyče; - rýchlosť jeho pohybu; s- rýchlosť svetla vo vákuu. Nahradenie do vzorca pre l 0číselné hodnoty, máme: l= 0,6 m.
odpoveď: l= 0,6 m.
3. Dve častice sa pohybujú smerom k sebe rýchlosťou: 1) = 0,5 s A u = 0,75s; 2) = s A u = 0,75s. Nájdite ich relatívnu rýchlosť v prvom a druhom prípade.
Riešenie. Podľa vety o sčítaní rýchlostí pohybujúcich sa telies k sebe v teórii relativity: , kde , u– rýchlosti prvého a druhého telesa; – ich relatívnu rýchlosť; s- rýchlosť svetla vo vákuu. Pre prvý a druhý prípad nájdeme:
To potvrdzuje, že po prvé v žiadnej inerciálnej referenčnej sústave rýchlosť procesu nemôže prekročiť rýchlosť svetla a po druhé, rýchlosť šírenia svetla vo vákuu je absolútna.
Odpoveď: = 0,91 s; = s.
4. Dve olovené gule s hmotnosťou 0,5 a 1 kg sú zavesené na dvoch šnúrach rovnakej dĺžky rovnajúcej sa 0,8 m. Loptičky sa navzájom dotýkajú. Guľôčka menšej hmotnosti bola posunutá nabok tak, aby bola šnúra vychýlená pod uhlom a=60°, a uvoľnená. Do akej výšky stúpnu obe gule po zrážke? Náraz sa považuje za centrálny a neelastický. Určte energiu vynaloženú na deformáciu guľôčok pri dopade.
Riešenie. Keďže dopad loptičiek je nepružný, po dopade sa loptičky budú pohybovať rovnakou rýchlosťou u. Zákon zachovania hybnosti pri tomto náraze má tvar:
Tu a sú rýchlosti loptičiek pred dopadom. Rýchlosť veľkej lopty pred dopadom je nulová ( = 0). Rýchlosť menšej gule zistíme pomocou zákona zachovania energie. Keď sa menšia guľa vychýli o uhol, dostane potenciálnu energiu, ktorá sa potom zmení na kinetickú energiu: . Preto: . Z geometrických konštrukcií vyplýva: , teda:
. (2)
Z rovníc (1) a (2) zistíme rýchlosť loptičiek po dopade:
. (3)
Kinetická energia, ktorú majú lopty po dopade, sa zmení na potenciál:
Kde h– výška loptičiek stúpajúca po zrážke. Zo vzorca (4) zistíme, alebo s prihliadnutím na (3) 
a dosadením číselných údajov, ktoré získame h= 0,044 m Pri nepružnom dopade loptičiek sa časť energie minie na ich deformáciu. Deformačná energia je určená rozdielom kinetických energií pred a po náraze:
. Pomocou rovníc (2) a (3) dostaneme: , J.
odpoveď: h= 0,044 m, DE D= 1,3 J.
5. Kladivo s hmotnosťou 70 kg padá z výšky 5 m a naráža na železný výrobok ležiaci na nákove. Hmotnosť nákovy spolu s výrobkom je 1330 kg. Za predpokladu, že náraz je absolútne nepružný, určite energiu vynaloženú na deformáciu produktu. Systém kladivo – obrobok – kovadlina sa považuje za uzavretý.
Riešenie. Podľa podmienok problému sa systém kladivo-obrobok-kovadlina považuje za uzavretý a náraz je neelastický. Na základe zákona zachovania energie môžeme predpokladať, že energia vynaložená na deformáciu výrobku sa rovná rozdielu hodnôt mechanickej energie systému pred a po náraze. Predpokladáme, že pri náraze sa mení iba kinetická energia telies, t. j. zanedbávame nevýznamný vertikálny pohyb telies pri náraze. Potom pre deformačnú energiu produktu máme:
, (1)
kde je rýchlosť kladiva na konci pádu z výšky h; je celková rýchlosť všetkých telies sústavy po nepružnom náraze. Rýchlosť kladiva na konci pádu z výšky h sa určuje bez zohľadnenia odporu vzduchu a trenia podľa vzorca:
Celkovú rýchlosť všetkých telies sústavy po nepružnom náraze zistíme uplatnením zákona zachovania hybnosti: . Pre uvažovaný systém má zákon zachovania hybnosti tvar 
, kde:
Dosadením výrazov (2) a (3) do vzorca (1) dostaneme: 
, J.
odpoveď: J.
6. Teleso s hmotnosťou 1 kg sa pôsobením konštantnej sily pohybuje po priamke. Časová závislosť dráhy prejdenej telesom je daná rovnicou s = 2t2+4t+1. Určte prácu vykonanú silou 10 sekúnd od začiatku jej pôsobenia a závislosť kinetickej energie od času.
Riešenie. Práca vykonaná silou je vyjadrená pomocou krivkového integrálu:
Sila pôsobiaca na teleso podľa Newtonovho zákona II sa rovná: alebo (okamžitá hodnota zrýchlenia je určená prvou deriváciou rýchlosti vzhľadom na čas alebo druhou deriváciou dráhy vzhľadom na čas). V súlade s tým zistíme:
Z výrazu (2) určíme ds:
Dosadením (4) a (5) do rovnice (1) dostaneme: 
Pomocou tohto vzorca určíme prácu vykonanú silou 10 sekúnd od začiatku jej pôsobenia: 
, A= 960 J. Kinetická energia je určená vzorcom:
Nahradením (2) za (6) máme: 
.
odpoveď: A= 960 J, T = m(8t2 +16t+8).
7. Protón sa pohybuje rýchlosťou 0,7 s (s- rýchlosť svetla). Nájdite hybnosť a kinetickú energiu protónu.
Riešenie. Hybnosť protónu je určená vzorcom:
Keďže rýchlosť protónu je porovnateľná s rýchlosťou svetla, je potrebné vziať do úvahy závislosť hmotnosti od rýchlosti pomocou relativistického výrazu pre hmotnosť:
Kde m– hmotnosť pohybujúceho sa protónu; m 0=1,67×10 -27 kg – protónová pokojová hmotnosť; v- rýchlosť pohybu protónov; c= 3×10 8 m/s – rýchlosť svetla vo vákuu; v/c = b– rýchlosť protónov, vyjadrená v zlomkoch rýchlosti svetla. Dosadením rovnice (2) do (1) dostaneme: , kg×m/s. V relativistickej mechanike je kinetická energia častice definovaná ako rozdiel medzi celkovou energiou E a oddychová energia E 0 tejto častice:
. (3)
odpoveď: p= 4,91 × 10 -19 kg × m/s, T= 0,6 x 10-10 J.
8. Tenká tyč sa otáča uhlovou rýchlosťou 10 s -1 vo vodorovnej rovine okolo zvislej osi prechádzajúcej stredom tyče. Počas otáčania v rovnakej rovine sa tyč pohybuje tak, že os otáčania prechádza jej koncom. Nájdite uhlovú rýchlosť po pohybe.
Riešenie. Používame zákon zachovania momentu hybnosti: , kde J i, je moment zotrvačnosti tyče vzhľadom na os otáčania. Pre izolovanú sústavu telies zostáva vektorový súčet momentu hybnosti konštantný. Pri tomto probléme sa v dôsledku toho, že sa mení rozloženie hmoty tyče vzhľadom na os otáčania, zmení aj moment zotrvačnosti tyče. V súlade so zákonom zachovania momentu hybnosti píšeme:
Je známe, že moment zotrvačnosti tyče vo vzťahu k osi prechádzajúcej cez ťažisko a kolmej na tyč sa rovná:
Podľa Steinerovej vety: kde J– moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na ľubovoľnú os otáčania; J 0– moment zotrvačnosti okolo rovnobežnej osi prechádzajúcej ťažiskom; d– vzdialenosť od ťažiska k zvolenej osi otáčania. Nájdite moment zotrvačnosti okolo osi prechádzajúcej jej koncom a kolmej na tyč:
. (3)
Dosadením vzorcov (2) a (3) do (1) máme: , odkiaľ .
odpoveď: w 2= 2,5 s-1.
9. Zotrvačník s hmotnosťou 4 kg sa otáča s frekvenciou 720 min -1 okolo vodorovnej osi prechádzajúcej jeho stredom. Hmotu zotrvačníka možno považovať za rovnomerne rozloženú pozdĺž jeho venca s polomerom 40 cm, po 30 s sa zotrvačník vplyvom brzdného momentu zastavil. Nájdite brzdný moment a počet otáčok, ktoré zotrvačník vykoná, kým sa úplne nezastaví.
Riešenie. Na určenie brzdného momentu M sily pôsobiace na telo, musíte použiť základnú rovnicu dynamiky rotačného pohybu:
Kde J– moment zotrvačnosti zotrvačníka voči osi prechádzajúcej ťažiskom; – zmena uhlovej rýchlosti v priebehu času. Podľa podmienky , kde je počiatočná uhlová rýchlosť, keďže konečná uhlová rýchlosť = 0. Vyjadrime počiatočnú uhlovú rýchlosť pomocou frekvencie otáčania zotrvačníka; potom a moment zotrvačnosti zotrvačníka, kde m– hmotnosť zotrvačníka; R– jeho polomer. Vzorec (1) má tvar: 
kde M= -1,61 Nxm. Znak „-“ znamená, že moment je bolestivý.
Uhol otáčania (t. j. uhlová dráha) počas otáčania zotrvačníka až do jeho zastavenia možno určiť podľa vzorca pre rovnomerne pomalé otáčanie:
kde je uhlové zrýchlenie. Podľa podmienky , , . Potom výraz (2) možno zapísať takto: 
. Pretože j = 2 pN, w 0 = 2 pn, potom počet plných otáčok zotrvačníka: .
odpoveď: M= 1,61 N×m, N = 180.
10. Nádoba s objemom 2 m 3 obsahuje zmes 4 kg hélia a 2 kg vodíka pri teplote 27 °C. Určte tlak a molárnu hmotnosť zmesi plynov.
Riešenie. Použime Clayperonovu-Mendelejevovu rovnicu a aplikujme ju na hélium a vodík:
Kde P 1– parciálny tlak hélia; m 1- hmotnosť hélia; – jeho molárna hmotnosť; V– objem nádoby; T- teplota plynu; R= 8,31 J/(mol×K) – molárna plynová konštanta; P2- parciálny tlak vodíka; m 2- hmotnosť vodíka; – jeho molárna hmotnosť. Pod čiastočným tlakom P 1 A P2 sa vzťahuje na tlak, ktorý by plyn vytvoril, keby bol v nádobe sám. Podľa Daltonovho zákona sa tlak zmesi rovná súčtu parciálnych tlakov plynov obsiahnutých v zmesi:
Z rovníc (1) a (2) vyjadríme P 1 A P2 a dosaďte ho do rovnice (3). Máme:
. (4)
Molárnu hmotnosť zmesi plynov zistíme pomocou vzorca: , kde v 1 A v 2– počet mólov hélia a vodíka. Počet mólov plynov je určený vzorcami: a . Potom: . Nahradením číselných hodnôt dostaneme: P= 2493 kPa a = 3 x 10-3 kg/mol.
odpoveď: P= 2493 kPa, = 3 x 10-3 kg/mol.
11. Aké sú priemerné kinetické energie translačného a rotačného pohybu molekúl obsiahnutých v 2 kg vodíka pri teplote 400 K?
Riešenie. Vodík považujeme za ideálny plyn. Molekula vodíka je dvojatómová, väzba medzi atómami sa považuje za tuhú. Potom je počet stupňov voľnosti molekuly vodíka 5, z toho tri sú translačné a dva rotačné. V priemere je energia na stupeň voľnosti, kde k– Boltzmannova konštanta; T- termodynamická teplota. Pre jednu molekulu: a . Počet molekúl obsiahnutých v hmote plynu: . Potom priemerná kinetická energia translačného pohybu molekúl dvoch kilogramov vodíka: 
. Priemerná kinetická energia rotačného pohybu tých istých molekúl: . Dosadením číselných hodnôt máme: =4986 KJ a =2324 KJ.
Odpoveď: =4986 KJ, =2324 KJ.
12. Určte priemernú voľnú dráhu molekúl a počet zrážok za 1 s, ku ktorým dochádza medzi všetkými molekulami kyslíka nachádzajúcimi sa v 2-litrovej nádobe pri teplote 27 0 C a tlaku 100 kPa.
Riešenie. Priemerná voľná dráha molekúl kyslíka sa vypočíta podľa vzorca: , kde d– efektívny priemer molekuly kyslíka; n– počet molekúl na jednotku objemu, ktorý možno určiť z rovnice: , kde k– Boltzmannova konštanta. Máme teda: . Počet kolízií Z vyskytujúce sa medzi všetkými molekulami za 1 s sa rovná: , kde N– počet molekúl kyslíka v nádobe s objemom 2×10 -3 m3; 
. Nahradením číselných hodnôt dostaneme: Z
odpoveď: Z= 9 × 1028 s-1, = 3,56 × 108 m.
13. Určte koeficienty difúzie a vnútorného trenia dusíka pri teplote T= 300 K a tlaku 10 5 Pa.
Riešenie. Difúzny koeficient je určený vzorcom: , kde<V> je aritmetická stredná rýchlosť molekúl, je stredná voľná dráha molekúl. Na jeho nájdenie použijeme vzorec z riešenia príkladu 12: 
. Výraz pre koeficient difúzie bude mať tvar: 
. Koeficient vnútorného trenia: , kde r– hustota plynu pri teplote 300 K a tlaku 10 5 Pa. Nájsť r Využime stavovú rovnicu ideálneho plynu. Napíšme to pre dva stavy dusíka: za normálnych podmienok T 0= 273 K, P=1,01×10 5 Pa a v podmienkach úlohy: a . Vzhľadom na to a máme: . Koeficient vnútorného trenia plynu možno vyjadriť pomocou koeficientu difúzie: . Nahradením číselných hodnôt dostaneme: D= 4,7 x 105 m2/sa h= 5,23 x 10-5 kg/(m x s).
odpoveď: D= 4,7 x 105 m2/sa h= 5,23 x 10-5 kg/(m x s).
14. Kyslík s hmotnosťou 160 g sa zahrieva pri konštantnom tlaku od 320 do 340 K. Určte množstvo tepla absorbovaného plynom, zmenu vnútornej energie a prácu expanzie plynu.
Riešenie. Množstvo tepla potrebné na zahriatie plynu pri konštantnom tlaku: 
. Tu s p A S p– merná a molárna tepelná kapacita plynu pri konštantnom tlaku; m=32×10 -3 kg/mol – molárna hmotnosť kyslíka. Pre všetky dvojatómové plyny: , J/(mol×K). Zmena vnútornej energie plynu sa zistí podľa vzorca: , kde ŽIVOTOPIS– molárna tepelná kapacita plynu pri konštantnom objeme. Pre všetky dvojatómové plyny: CV = = 5/ 2xR; ŽIVOTOPIS= 20,8 J/(mol x K). Práca expanzie plynu počas izobarického procesu: , kde je zmena objemu plynu, ktorú možno nájsť z Clayperonovej-Mendelejevovej rovnice. V izobarickom procese: a . Odčítaním výrazov po členoch nájdeme: , teda: . Dosadením číselných hodnôt dostaneme: J, J, J.
Odpoveď: J, J, J.
15. Objem argónu pri tlaku 80 kPa vzrástol z 1 na 2 litre. O koľko sa zmení vnútorná energia plynu, ak sa expanzia uskutoční: a) izobaricky; b) adiabaticky.
Riešenie. Aplikujme prvý zákon termodynamiky. Podľa tohto zákona množstvo tepla Q, prenášaný do systému, sa vynakladá na zvýšenie vnútornej energie a na vonkajšiu mechanickú prácu A: . Veľkosť systému možno určiť na základe poznania hmotnosti plynu, špecifického tepla pri konštantnom objeme s V a zmena teploty: . Výhodnejšie je však určiť zmenu vnútornej energie prostredníctvom molárnej tepelnej kapacity ŽIVOTOPIS, ktorý možno vyjadriť počtom stupňov voľnosti: . Nahradením hodnoty ŽIVOTOPIS dostaneme: . Zmena vnútornej energie závisí od charakteru procesu, počas ktorého sa plyn rozpína. Počas izobarickej expanzie plynu, podľa prvého zákona termodynamiky, časť množstva tepla ide na zmenu vnútornej energie. Nie je možné nájsť argón pomocou získaného vzorca, pretože hmotnosť plynu a teplota nie sú uvedené v probléme. Preto je potrebné tento vzorec transformovať. Napíšme Clayperonovu-Mendelejevovu rovnicu pre počiatočný a konečný stav plynu: a , alebo . Potom: . Táto rovnica sa vypočíta na stanovenie pri izobarickej expanzii. Počas adiabatickej expanzie plynu preto nedochádza k výmene tepla s vonkajším prostredím Q= 0. Prvý zákon termodynamiky budeme písať ako: . Tento vzťah stanovuje, že prácu na expanzii plynu možno vykonať iba znížením vnútornej energie plynu (znamienko mínus pred ): . Pracovný vzorec pre adiabatický proces je: 
, Kde g– adiabatický index rovný: . Pre argón - monoatomický plyn ( i= 3) – máme g= 1,67. Zmenu vnútornej energie počas adiabatického procesu pre argón nájdeme: 
. Na určenie práce expanzie argónu by sa mal vzorec premeniť, berúc do úvahy parametre uvedené vo vyhlásení o probléme. Aplikovaním Clayperon-Mendelejevovej rovnice v tomto prípade získame výraz na výpočet zmeny vnútornej energie: 
. Dosadením číselných hodnôt máme: a) s izobarickou expanziou J; b) s adiabatickou expanziou J.
Odpoveď: a) = 121 J; b) = -44,6 J.
16. Teplota ohrievača tepelného motora je 500 K. Teplota chladničky je 400 K. Určte účinnosť. tepelného motora pracujúceho podľa Carnotovho cyklu a plný výkon stroja, ak mu ohrievač odovzdá 1675 J tepla každú sekundu.
Riešenie. Účinnosť stroja je určená vzorcom: alebo. Z týchto výrazov nájdeme: 
. Urobme výpočty: A= 335 J. Táto práca sa vykoná za 1 s, preto je celkový výkon stroja 335 W.
Odpoveď: = 0,2, N= 335 W.
17. Horúca voda určitej hmotnosti odovzdáva teplo studenej vode rovnakej hmotnosti a ich teploty sa stávajú rovnakými. Ukážte, že entropia sa v tomto prípade zvyšuje.
Riešenie. Nechajte teplotu teplej vody T 1, chladný T 2 a teplota zmesi je . Stanovme teplotu zmesi na základe rovnice tepelnej bilancie: alebo 
, kde: . Zmena entropie, ku ktorej dochádza pri ochladzovaní horúcej vody: 
. Zmena entropie, ku ktorej dochádza pri ohrievaní studenej vody: 
. Zmena entropie systému sa rovná: 
alebo 
; ako aj 4T 1 T 2>0, potom .
KONTROLA PRÁCE č.1
101. Vplyvom akej sily pri priamočiarom pohybe telesa dochádza k zmene jeho súradníc v čase podľa zákona x = 10 + 5 t - - 10 t 2? Telesná hmotnosť 2 kg.
102. Nájdite zákon pohybu telesa s hmotnosťou 1 kg pod vplyvom konštantnej sily 10 N, ak v okamihu t = 0 telo bolo v kľude na začiatku ( x = 0).
103. Nájdite zákon pohybu telesa s hmotnosťou 1 kg pod vplyvom konštantnej sily 1 N, ak v okamihu t = 0 počiatočná súradnica x = 0 a v 0 = 5 m/s.
104. Nájdite zákon pohybu telesa s hmotnosťou 1 kg pod vplyvom konštantnej sily 2 N, ak v okamihu t = 0 máme x 0 = 1 m a v 0 = 2 pani.
105. Teleso s hmotnosťou 2 kg sa pohybuje s rôznym zrýchlením podľa zákona a = 5t-10. Určte silu pôsobiacu na teleso 5 s po začiatku pôsobenia a rýchlosť na konci piatej sekundy.
106. Pevná guľa s hmotnosťou 1 kg a polomerom 5 cm sa otáča okolo osi prechádzajúcej jej stredom. Zákon rotácie lopty vyjadruje rovnica. V bode najvzdialenejšom od osi otáčania pôsobí na guľu sila tangenciálna k povrchu. Určte túto silu a brzdný moment.
107. Automobil sa pohybuje po zakrivenej diaľnici s polomerom zakrivenia 100 m Zákon pohybu auta vyjadruje rovnica. Nájdite rýchlosť auta, jeho tangenciálne, normálne a celkové zrýchlenie na konci piatej sekundy.
108. Hmotný bod sa pohybuje po kružnici, ktorej polomer je 20 m. Časovú závislosť dráhy, ktorú bod prejde, vyjadruje rovnica. Určte prejdenú vzdialenosť, uhlovú rýchlosť a uhlové zrýchlenie bodu po 3 s od začiatku jeho pohybu.
109. Hmotný bod sa pohybuje po kružnici s polomerom 1 m podľa rovnice. Nájdite rýchlosť, tangenciálne, normálne a celkové zrýchlenie v čase 3 s.
110. Teleso rotuje rovnomerne s počiatočnou uhlovou rýchlosťou 5 s-1 a uhlovým zrýchlením 1 rad/s2. Koľko otáčok vykoná teleso za 10 s?
111. Rovnobežne s rozmermi 2x2x4 cm 3 sa pohybuje rovnobežne s väčším okrajom. Akou rýchlosťou sa bude javiť ako kocka?
112. Akú rýchlosť musí mať pohybujúce sa teleso, aby sa jeho pozdĺžne rozmery zmenšili na polovicu?
113. Mezón π je nestabilná častica. Jeho vlastná životnosť je 2,6×10-8 s. Ako ďaleko prejde mezón π pred rozpadom, ak sa bude pohybovať rýchlosťou 0,9 s?
114. Nájdite správnu životnosť nestabilnej častice - mezónu, pohybujúcej sa rýchlosťou 0,99 s, ak vzdialenosť, ktorú prejde pred rozpadom, je 0,1 km.
115. Vlastná životnosť π-mezónu je 2,6×10 -8 s. Aká je životnosť π-mezónu pre pozorovateľa, voči ktorému sa táto častica pohybuje rýchlosťou 0,8 s?
116. Elektrón, ktorého rýchlosť je 0,9 s sa pohybuje smerom k protónu s rýchlosťou 0,8 s
117. Rádioaktívne jadro emitované z urýchľovača rýchlosťou 0,8 s, vymrštila časticu v smere jej pohybu rýchlosťou 0,7 s vzhľadom na urýchľovač. Nájdite rýchlosť častice vzhľadom na jadro.
118. Dve častice sa k sebe pohybujú rýchlosťou 0,8 s. Určte rýchlosť ich relatívneho pohybu.
119. Pri akej rýchlosti pohybu bude relativistické zníženie dĺžky pohybujúceho sa telesa o 25%.
120. Akú rýchlosť musí mať pohybujúce sa teleso, aby sa jeho pozdĺžne rozmery zmenšili o 75 %.
121. Pevný valec s hmotnosťou 0,1 kg sa odvaľuje bez prekĺzavania konštantnou rýchlosťou 4 m/s. Určte kinetickú energiu valca a čas, kým sa zastaví, ak naň pôsobí trecia sila 0,1 N.
122. Pevná guľa sa kotúľa po naklonenej rovine, ktorej dĺžka je 1 m a uhol sklonu je 30°. Určte rýchlosť lopty na konci naklonenej roviny. Ignorujte trenie lopty o rovinu.
123. Dutý valec s hmotnosťou 1 kg sa valí po vodorovnej ploche rýchlosťou 10 m/s. Určte silu, ktorá musí pôsobiť na valec, aby ste ho zastavili vo vzdialenosti 2 m.
124. Zotrvačník v tvare disku s hmotnosťou 10 kg a polomerom 0,1 m sa roztočil na frekvenciu 120 min -1. Pod vplyvom trenia sa disk zastavil po 10 s. Nájdite moment trecích síl, považujte ho za konštantný.
125. Obruč a disk sa kotúľajú po naklonenej rovine, ktorá zviera s horizontálou uhol 30°. Aké sú ich zrýchlenia na konci zjazdu? Zanedbajte treciu silu.
126. Lopta v pokoji s hmotnosťou 2 kg sa zrazí s tou istou guľou pohybujúcou sa rýchlosťou 1 m/s. Vypočítajte prácu vykonanú v dôsledku deformácie počas priameho centrálneho nepružného nárazu.
127. Hmotnosť strely 10 kg, hmotnosť hlavne pištole 500 kg. Pri výstrele dostane strela kinetickú energiu 1,5 × 10 6 J. Akú kinetickú energiu dostane hlaveň dela v dôsledku spätného rázu?
128. Rýchlokorčuliar s hmotnosťou 60 kg, stojaci na korčuliach na ľade, hádže kameň s hmotnosťou 2 kg vo vodorovnom smere rýchlosťou 10 m/s. Ako ďaleko sa korčuliar odkotúľa, ak koeficient trenia korčúľ na ľade je 0,02?
129. Molekula vodíka pohybujúca sa rýchlosťou 400 m/s priletí k stene nádoby pod uhlom 60° a elasticky do nej narazí. Určte impulz prijatý stenou. Vezmite hmotnosť molekúl rovnajúcu sa 3 × 10 -27 kg.
130. Oceľová guľa s hmotnosťou 50 g spadla z výšky 1 m na veľkú platňu a preniesla na ňu silový impulz rovný 0,27 N×s. Určte množstvo tepla uvoľneného pri dopade a výšku, do ktorej loptička stúpa.
131. Akou rýchlosťou sa pohybuje elektrón, ak jeho kinetická energia je 1,02 MeV? Určte hybnosť elektrónu.
132. Ukázalo sa, že kinetická energia častice sa rovná jej pokojovej energii. Aká je rýchlosť tejto častice?
133. Hmotnosť pohybujúceho sa protónu je 2,5×10 -27 kg. Nájdite rýchlosť a kinetickú energiu protónu.
134. Protón prešiel cez zrýchľujúci sa potenciálny rozdiel 200 MV. Koľkokrát je jeho relativistická hmotnosť väčšia ako jeho pokojová hmotnosť? Aká je rýchlosť protónu?
135. Určte rýchlosť elektrónu, ak je jeho relativistická hmotnosť trikrát väčšia ako jeho pokojová hmotnosť. Vypočítajte kinetickú a celkovú energiu elektrónu.
136. Vypočítajte rýchlosť, kinetickú a celkovú energiu protónu v okamihu, keď sa jeho hmotnosť rovná pokojovej hmotnosti častice.
137. Nájdite hybnosť, celkovú a kinetickú energiu elektrónu pohybujúceho sa rýchlosťou 0,7 s.
138. Protón a -častica prechádzajú rovnakým urýchľovacím potenciálovým rozdielom, po ktorom je hmotnosť protónu polovicou pokojovej hmotnosti -častice. Určte potenciálny rozdiel.
139. Nájdite hybnosť, celkovú a kinetickú energiu neutrónu pohybujúceho sa rýchlosťou 0,6 s.
140. Koľkokrát je hmotnosť pohybujúceho sa deuterónu väčšia ako hmotnosť pohybujúceho sa elektrónu, ak sa ich rýchlosti rovnajú 0,6 s a 0,9 s. Aká je ich kinetická energia?
141. Nájdite priemernú kinetickú energiu rotačného pohybu všetkých molekúl obsiahnutých v 0,20 g vodíka pri teplote 27 °C.
142. Ideálny tlak plynu 10 mPa, molekulová koncentrácia 8 × 10 10
cm-3. Určte priemernú kinetickú energiu translačného pohybu jednej molekuly a teplotu plynu.
143. Určte priemernú hodnotu celkovej kinetickej energie jednej molekuly argónu a vodnej pary pri teplote 500 K.
144. Priemerná kinetická energia translačného pohybu molekúl plynu je 15 × 10 -21 J. Koncentrácia molekúl je 9 × 10 19 cm -3. Určte tlak plynu.
145. Fľaša s objemom 50 litrov obsahuje stlačený vodík s teplotou 27 °C. Po uvoľnení časti vzduchu tlak klesol o 10 5 Pa. Určte hmotnosť uvoľneného vodíka. Proces sa považuje za izotermický.
146. Nádoba v tvare gule s polomerom 0,1 m obsahuje 56 g dusíka. Na akú teplotu možno zahriať plyn, ak steny nádoby odolajú tlaku 5,10 5 Pa?
147. Pri teplote 300 K a tlaku 1,2 × 10 5 Pa je hustota zmesi vodíka a dusíka 1 kg/m 3 . Určte molárnu hmotnosť zmesi.
148. Valec s objemom 0,8 m 3 obsahuje 2 kg vodíka a 2,9 kg dusíka. Určte tlak zmesi, ak je teplota okolia 27 °C.
149. Na akú teplotu možno zohriať uzavretú nádobu s obsahom 36 g vody, aby nepraskla, ak je známe, že steny nádoby odolajú tlaku 5 × 10 6 Pa. Objem nádoby je 0,5 l.
150. Pri teplote 27 °C a tlaku 10 6 Pa je hustota zmesi kyslíka a dusíka 15 g/dm 3. Určte molárnu hmotnosť zmesi.
151. Nádoba s objemom 1 liter obsahuje kyslík s hmotnosťou 32 g Určte priemerný počet zrážok molekúl za sekundu pri teplote 100 K.
152. Určte priemernú dĺžku a priemernú voľnú dráhu molekúl oxidu uhličitého pri teplote 400 K a tlaku 1,38 Pa.
153. Nádoba s objemom 1 liter obsahuje 4,4 g oxidu uhličitého. Určte priemernú voľnú dráhu molekúl.
154. Určte koeficient difúzie hélia pri tlaku 1,10 6 Pa a teplote 27 °C.
155. Určte koeficient vnútorného trenia kyslíka pri teplote 400 K.
156. Nádoba s objemom 5 litrov obsahuje 40 g argónu. Určte priemerný počet zrážok molekúl za sekundu pri teplote 400 K.
157. Určte koeficient vnútorného trenia vzduchu pri teplote 100 K.
158. Určte koeficient difúzie dusíka pri tlaku 0,5×10 5 Pa a teplote 127 °C.
159. Koeficient vnútorného trenia kyslíka za normálnych podmienok je 1,9 × 10 -4 kg/m × s. Určte koeficient tepelnej vodivosti kyslíka.
160. Koeficient difúzie vodíka za normálnych podmienok
9,1×10-5 m2/s. Určte súčiniteľ tepelnej vodivosti vodíka.
161. Určte, koľko tepla treba odovzdať argónu s hmotnosťou 400 g, aby sa zohrial o 100 K: a) pri konštantnom objeme; b) pri konštantnom tlaku.
162. Koľkokrát sa zväčší objem 2 mólov kyslíka pri izotermickej expanzii pri teplote 300 K, ak sa do plynu pridajú 4 kJ tepla?
163. Aké množstvo tepla treba dodať 2 mólom vzduchu, aby vykonali 1000 J práce: a) pri izotermickom procese; b) počas izobarického procesu.
164. Nájdite vykonanú prácu a zmenu vnútornej energie pri adiabatickej expanzii 28 g dusíka, ak sa jeho objem zdvojnásobil. Počiatočná teplota dusíka je 27 °C.
165. Kyslík, ktorý zaberá objem 10 litrov a pod tlakom 2·10 5 Pa, sa adiabaticky stlačí na objem 2 litre. Nájdite prácu kompresie a zmenu vnútornej energie kyslíka.
166. Určte množstvo tepla odovzdaného 88 g oxidu uhličitého, ak sa izobaricky zahreje z 300 K na 350 K. Akú prácu môže vykonať plyn a ako sa zmení jeho vnútorná energia?
167. V ktorom procese je výhodnejšie expandovať vzduch: izobarický alebo izotermický, ak sa objem zväčší päťkrát. Počiatočná teplota plynu je v oboch prípadoch rovnaká.
168. Pri ktorom procese je výhodnejšie zohrievať 2 móly argónu na 100 K: a) izobarický; b) izochorický.
169. Dusík s hmotnosťou 20 g dostal počas izobarického zahrievania 3116 J tepla. Ako sa zmenila teplota a vnútorná energia plynu.
170. Pri izotermickej expanzii jedného mólu vodíka sa spotrebovali 4 kJ tepla a objem vodíka sa päťnásobne zvýšil. Pri akej teplote proces prebieha? Aká je zmena vnútornej energie plynu, akú prácu vykonáva plyn?
171. Určte zmenu entropie 14 g dusíka pri izobarickom zahriatí z 27 °C na 127 °C.
172. Ako sa zmení entropia 2 mólov oxidu uhličitého pri izotermickej expanzii, ak sa objem plynu zväčší štvornásobne?
173. Počas Carnotovho cyklu odovzdal plyn 25 % tepla prijatého z ohrievača do chladničky. Určte teplotu chladničky, ak je teplota ohrievača 400 K.
174. Tepelný motor pracuje podľa Carnotovho cyklu, účinnosť. čo je 0,4. Aká bude účinnosť? tento stroj, ak robí rovnaký cyklus v opačnom smere?
175. Chladiaci stroj pracuje na reverznom Carnotovom cykle, účinnosť. z toho 40 %. Aká bude účinnosť? tento stroj, ak pracuje v priamom Carnotovom cykle.
176. Pri priamom Carnotovom cykle vykoná tepelný motor prácu 1000 J. Teplota ohrievača je 500 K, teplota chladničky je 300 K. Určte množstvo tepla, ktoré stroj prijíma z ohrievača.
177. Nájdite zmenu entropie pri zohriatí 2 kg vody z 0 na 100 °C a následnom premene na paru s rovnakou teplotou.
178. Nájdite zmenu entropie pri roztavení 2 kg olova a jeho ďalšom ochladzovaní z 327 na 0 °C.
179. Určte zmenu entropie, ku ktorej dôjde pri zmiešaní 2 kg vody s teplotou 300 K a 4 kg vody s teplotou 370 K.
180. Ľad s hmotnosťou 1 kg, ktorý sa nachádza pri teplote 0 °C, sa zohreje na teplotu 57 °C. Určte zmenu entropie.
Témy kodifikátora Jednotnej štátnej skúšky: celková energia, vzťah medzi hmotnosťou a energiou, pokojová energia.
V klasickej dynamike sme začali s Newtonovými zákonmi, potom sme prešli k hybnosti a potom k energii. Tu, kvôli jednoduchosti prezentácie, urobíme presný opak: začneme energiou, potom prejdeme k hybnosti a skončíme relativistickou pohybovou rovnicou - modifikáciou druhého Newtonovho zákona pre teóriu relativity.
Relativistická energia
Predpokladajme, že izolované teleso je v kľude v danej vzťažnej sústave. Jeden z najpôsobivejších úspechov teórie relativity je slávny Einsteinov vzorec:
Tu je energia tela, je rýchlosť svetla vo vákuu. Keďže telo je v pokoji, nazýva sa energia vypočítaná podľa vzorca (1). oddychová energia.
Vzorec (1) hovorí, že každé telo samo o sebe má energiu – jednoducho preto, že existuje v prírode. Obrazne povedané, príroda vynaložila určité úsilie na „poskladanie“ daného telesa z najmenších častíc hmoty a meradlom tohto úsilia je pokojová energia tela. Táto energia je veľmi veľká; Takže jeden kilogram hmoty obsahuje energiu
Zaujímalo by ma, koľko paliva je potrebné spáliť, aby sa uvoľnilo toľko energie? Vezmime si napríklad strom. Jeho špecifické spalné teplo sa rovná J/kg, teda zistíme: kg. To je deväť miliónov ton!
Len pre porovnanie: jednotný energetický systém Ruska takúto energiu vyrobí približne za desať dní.
Prečo taká obrovská energia obsiahnutá v tele zostala pre nás doteraz nepovšimnutá? Prečo sme nebrali do úvahy pokojovú energiu v nerelativistických problémoch súvisiacich so zachovaním a transformáciou energie? Na túto otázku odpovieme čoskoro.
Keďže pokojová energia telesa je priamo úmerná jeho hmotnosti, zmena pokojovej energie o množstvo vedie k zmene telesnej hmotnosti o
Takže, keď sa telo zahrieva, jeho vnútorná energia sa zvyšuje, a preto sa zvyšuje hmotnosť tela! V bežnom živote tento efekt pre jeho extrémnu malosť nezaznamenávame. Napríklad na ohrev vody s hmotnosťou kg o (špecifická tepelná kapacita vody sa rovná ) je potrebné odovzdať množstvo tepla:
Nárast hmotnosti vody sa bude rovnať:
Takúto nevýznamnú zmenu hmotnosti nie je možné zaznamenať na pozadí chýb meracích prístrojov.
Vzorec (1) udáva energiu tela v pokoji. Čo sa zmení, ak sa telo pohne?
Uvažujme opäť stacionárny referenčný systém a systém pohybujúci sa relatívne rýchlosťou. Nech je teleso hmoty v kľude v sústave; potom energia telesa v systéme je pokojová energia vypočítaná podľa vzorca (1). Ukazuje sa, že pri prechode do systému sa energia transformuje rovnakým spôsobom ako čas - menovite energia tela v systéme, v ktorom sa telo pohybuje rýchlosťou, sa rovná:
( 2 )
Formulu (2) tiež zaviedol Einstein. Veľkosť je celková energia pohybujúce sa telo. Keďže tento vzorec je rozdelený „relativistickým koreňom“, ktorý je menší ako jednota, celková energia pohybujúceho sa tela prevyšuje zvyšnú energiu. Celková energia sa bude rovnať pokojovej energii iba pri .
Výraz pre celkovú energiu (2) nám umožňuje vyvodiť dôležité závery o možných rýchlostiach pohybu objektov v prírode.
1. Každé masívne teleso má určitú energiu, preto musí byť splnená nerovnosť
Znamená to, že: rýchlosť masívneho telesa je vždy menšia ako rýchlosť svetla.
2. V prírode existujú bezhmotné častice (napríklad fotóny), ktoré nesú energiu. Pri dosadzovaní do vzorca (2) sa jeho čitateľ stane nulou. Ale fotónová energia je nenulová!
Jediný spôsob, ako sa vyhnúť tomuto rozporu, je prijať to bezhmotná častica sa musí pohybovať rýchlosťou svetla. Potom bude menovateľ nášho vzorca nula, takže vzorec (2) jednoducho zlyhá. Hľadanie vzorcov pre energiu bezhmotných častíc nie je v kompetencii teórie relativity. Výraz pre fotónovú energiu je teda zavedený v kvantovej fyzike.
Intuitívne sa cíti, že celková energia (2) pozostáva z pokojovej energie a skutočnej „energie pohybu“, t.j. kinetickej energie tela. Pri nízkych rýchlostiach sa to jasne prejavuje. Používame približné vzorce, ktoré platia pre:
( 3
)
( 4
)
Pomocou týchto vzorcov dôsledne získame z (2):
( 5 )
Pri nízkych rýchlostiach pohybu sa teda celková energia jednoducho zníži na súčet pokojovej energie a kinetickej energie. Toto slúži ako motivácia pre definovanie pojmu kinetická energia v teórii relativity:
. ( 6 )
Keď sa vzorec (6) zmení na nerelativistický výraz.
Teraz môžeme odpovedať na vyššie položenú otázku, prečo sa zvyšok energie ešte nezohľadnil v nerelativistických energetických vzťahoch. Ako je možné vidieť z (5), pri nízkych rýchlostiach pohybu vstupuje zvyšok energie do celkovej energie ako člen. V problémoch napríklad mechaniky a termodynamiky dosahujú zmeny energie telies maximálne niekoľko miliónov joulov; tieto zmeny sú v porovnaní s pokojovými energiami uvažovaných telies také nevýznamné, že vedú k mikroskopickým zmenám ich hmotnosti. Preto môžeme s vysokou presnosťou predpokladať, že celková hmotnosť telies sa počas mechanických alebo tepelných procesov nemení. V dôsledku toho sú sumy pokojových energií telies na začiatku a na konci procesu jednoducho znížené v oboch častiach zákona o zachovaní energie!
Ale nie vždy sa to stane. V iných fyzikálnych situáciách môžu zmeny energie tiel viesť k výraznejším zmenám v celkovej hmotnosti. Uvidíme napríklad, že pri jadrových reakciách sú rozdiely v hmotnostiach počiatočných a konečných produktov zvyčajne zlomky percent, napríklad pri rozpade jadra uránu je celková hmotnosť produktov rozpadu približne menšia. ako je hmotnosť počiatočného jadra. Táto tisícina hmoty jadra sa uvoľní vo forme energie, ktorá pri výbuchu atómovej bomby môže zničiť mesto.
Pri nepružnej zrážke sa časť kinetickej energie telies premení na ich vnútornú energiu. Relativistický zákon zachovania celkovej energie s týmto faktom počíta: celková hmotnosť telies po zrážke narastá!
Uvažujme ako príklad dve hmotné telesá letiace k sebe rovnakou rýchlosťou. V dôsledku nepružnej zrážky vzniká hmotné teleso, ktorého rýchlosť je podľa zákona zachovania hybnosti rovná nule (o tomto zákone bude reč neskôr). Podľa zákona zachovania energie dostaneme:
Vidíme, že hmotnosť výsledného telesa prevyšuje súčet hmotností telies pred zrážkou. Nadbytočná hmotnosť rovnajúca sa , vznikla v dôsledku prechodu kinetickej energie zrážaných telies na vnútornú energiu.
Relativistický impulz.
Klasický výraz pre hybnosť nie je v teórii relativity vhodný - nesúhlasí najmä s relativistickým zákonom sčítania rýchlostí. Ukážme si to na nasledujúcom jednoduchom príklade.
Nechajte systém pohybovať sa vzhľadom k systému rýchlosťou (obr. 1). Dve telesá v systéme letia k sebe rovnakou rýchlosťou. Dochádza k nepružnej kolízii.
V systéme sa telesá po kolízii zastavia. Poďme, ako je uvedené vyššie, nájsť hmotnosť výsledného telesa:
Teraz sa pozrime na kolízny proces z pohľadu systému. Pred zrážkou má ľavé telo rýchlosť:
Správne telo má rýchlosť:
Nerelativistická hybnosť nášho systému pred zrážkou sa rovná:
Po zrážke sa výsledné teleso pohybuje rýchlosťou.
Jeho nerelativistická hybnosť sa rovná:
Ako vidíme, to znamená, že nerelativistická hybnosť nie je zachovaná.
Ukazuje sa, že správny výraz pre hybnosť v teórii relativity sa získa vydelením klasického výrazu „relativistickým koreňom“: hybnosť telesa pohybujúceho sa rýchlosťou sa rovná:
Vráťme sa k príkladu, ktorý sme práve zvážili, a presvedčte sa, že teraz bude všetko v poriadku so zákonom zachovania hybnosti.
Systémový impulz pred kolíziou:
Impulz po zrážke:
Teraz je všetko správne: !
Vzťah medzi energiou a hybnosťou.
Zo vzorcov (2) a (7) možno získať pozoruhodný vzťah medzi energiou a hybnosťou v teórii relativity. Odmocníme obe strany týchto vzorcov:
Poďme transformovať rozdiel:
Toto je požadovaný pomer:
. ( 8 )
Tento vzorec nám umožňuje identifikovať jednoduchý vzťah medzi energiou a hybnosťou fotónu. Fotón má nulovú hmotnosť a pohybuje sa rýchlosťou svetla. Ako už bolo uvedené vyššie, samotná energia a hybnosť fotónu sa v SRT nenachádzajú: keď dosadíme hodnoty a do vzorcov (2) a (7), dostaneme nuly v čitateli a menovateli. Ale pomocou (8) ľahko nájdeme: , alebo
( 9 )
V kvantovej fyzike je pre energiu fotónu stanovený výraz, po ktorom sa zistí jeho hybnosť pomocou vzorca (9).
Relativistická pohybová rovnica.
Uvažujme hmotné teleso pohybujúce sa pozdĺž osi pod vplyvom sily. Pohybová rovnica telesa v klasickej mechanike je druhý Newtonov zákon: . Ak sa v nekonečne malom čase prírastok rýchlosti telesa rovná , potom , a pohybová rovnica bude napísaná v tvare:
. ( 10 )
Teraz si všimneme, že ide o zmenu nerelativistickej hybnosti tela. V dôsledku toho získame „impulznú“ formu písania druhého Newtonovho zákona - derivácia hybnosti tela vzhľadom na čas sa rovná sile pôsobiacej na telo:
. ( 11 )
Všetky tieto veci sú vám známe, ale nikdy nezaškodí zopakovať si ich ;-)
Klasická pohybová rovnica – druhý Newtonov zákon – je invariantná vzhľadom na Galileiho transformácie, ktoré v klasickej mechanike opisujú prechod z jedného inerciálneho vzťažného systému do druhého (to znamená, pripomeňme si, že počas tohto prechodu si druhý Newtonov zákon zachováva svoju formu). Avšak v STR je prechod medzi inerciálnymi referenčnými systémami opísaný Lorentzovými transformáciami a vzhľadom na ne už druhý Newtonov zákon nie je invariantný. Klasická pohybová rovnica musí byť následne nahradená relativistickou, ktorá si pod vplyvom Lorentzových transformácií zachováva svoju formu.
Skutočnosť, že druhý Newtonov zákon (10) nemôže platiť v SRT, je jasne vidieť na nasledujúcom jednoduchom príklade. Predpokladajme, že na teleso pôsobí konštantná sila. Potom sa podľa klasickej mechaniky bude telo pohybovať konštantným zrýchlením; rýchlosť telesa sa bude lineárne zvyšovať a časom prekročí rýchlosť svetla. Ale vieme, čo to naozaj je
v skutočnosti je to nemožné.
Ukazuje sa, že správna pohybová rovnica v teórii relativity nie je vôbec komplikovaná.
Relativistická pohybová rovnica má tvar (11), kde p je relativistická hybnosť:
. ( 12 )
Derivácia relativistického impulzu vzhľadom na čas sa rovná sile pôsobiacej na teleso.
V teórii relativity rovnica (12) nahrádza druhý Newtonov zákon.
Poďme zistiť, ako sa teleso s hmotnosťou m bude skutočne pohybovať pod vplyvom konštantnej sily. Za podmienky zo vzorca (12) dostaneme:
Zostáva vyjadriť rýchlosť odtiaľto:
. ( 13 )
Pozrime sa, čo tento vzorec dáva pre malé a dlhé časy pohybu.
Približné vzťahy používame pre:
, ( 14 )
. ( 15 )
Vzorce (14) a (15) sa líšia od vzorcov (3) a (4) iba znamienkom na ľavej strane. Vrelo odporúčam, aby ste si zapamätali všetky tieto štyri približné rovnosti – často sa používajú vo fyzike.
Takže začíname s malými časmi pohybu. Transformujme výraz (13) takto:
Pre najmenších máme:
Dôsledným používaním našich približných vzorcov získame:
Výraz v zátvorkách sa takmer nelíši od jednoty, takže pre malé hodnoty máme:
Tu je zrýchlenie tela. Získali sme výsledok, ktorý je nám dobre známy z klasickej mechaniky: rýchlosť telesa sa lineárne zvyšuje s časom. To nie je prekvapujúce - pri krátkych časoch pohybu je rýchlosť tela tiež malá, takže môžeme zanedbať relativistické efekty a použiť bežnú newtonovskú mechaniku.
Teraz prejdime k veľkým časom. Transformujme vzorec (13) inak:
Pre veľké hodnoty máme:
Je jasne vidieť, že keď sa rýchlosť telesa neustále približuje k rýchlosti svetla, vždy zostáva menšia - ako to vyžaduje teória relativity.
Závislosť rýchlosti tela od času, daná vzorcom (13), je graficky znázornená na obr. 2.
Počiatočná časť grafu je takmer lineárna; Klasická mechanika tu stále funguje. Následne sa prejavia relativistické korekcie, graf sa ohne a vo veľkých časoch sa naša krivka asymptoticky približuje k priamke.
Môže len čiastočne uspokojiť výskumníkov pri vykonávaní matematických výpočtov a zostavovaní určitých matematických modelov. Newtonove zákony platia len pre Galileove transformácie, ale pre všetky ostatné prípady sú potrebné nové transformácie, ktoré sa odrážajú v prezentovaných Lorentzových transformáciách. Zaviedol také princípy a koncepty, aby urobil presné výpočty pre interagujúce objekty, ktoré vykonávajú podobné procesy pri extrémne vysokých rýchlostiach, blízkych rýchlosti svetla.
Obrázok 1. Hybnosť a energia v relativistickej mechanike. Author24 - online výmena študentských prác
Samotná teória relativity, ktorú sformuloval Albert Einstein, si vyžaduje serióznu revíziu dogiem klasickej mechaniky. Lorentz zaviedol ďalšie rovnice dynamiky, ktorých účelom bola rovnaká transformácia klasických predstáv o prebiehajúcich fyzikálnych procesoch. Bolo potrebné zmeniť vzorce tak, aby zostali správne pri prechode z jednej inerciálnej referenčnej sústavy do druhej.
Relativistický impulz
Obrázok 2. Relativistický impulz. Author24 - online výmena študentských prác
Aby bolo možné zaviesť pojem energie v relativistickej mechanike, je potrebné zvážiť:
- relativistický impulz;
- princíp korešpondencie.
Pri získavaní relativistického vyjadrenia hybnosti je potrebné uplatniť princíp korešpondencie. V relativistickej mechanike môže byť hybnosť častice určená rýchlosťou tejto častice. Zdá sa však, že závislosť hybnosti od rýchlosti je zložitejším mechanizmom ako podobné procesy v klasickej mechanike. Toto už nemožno zredukovať na jednoduchú proporcionalitu a účinnosť výpočtov pozostáva z dodatočných parametrov a veličín. Hybnosť je znázornená ako vektor, pričom jej smer sa musí úplne zhodovať so smerom rýchlosti určitej častice. Toto je zabezpečené v symetrickom variante, pretože ekvivalencia nastáva v dôsledku izotropie voľného priestoru.
Poznámka 1
V tomto prípade hybnosť voľnej častice smeruje k jedinému zvolenému smeru jej rýchlosti. Ak je rýchlosť častíc nulová, potom je hybnosť častice tiež nulová.
Rýchlosť častice v akejkoľvek referenčnej sústave má konečnú hodnotu. Vždy musí byť menšia ako rýchlosť svetla, ktorá je zobrazená v tvare písmena C, no táto skutočnosť nie je schopná uvaliť nejaké obmedzenia na celú veľkosť hybnosti tejto častice a hybnosť sa môže neobmedzene zvyšovať.
Relativistická energia
Porovnaním rôznych výpočtových metód a techník je možné nájsť relativistickú energiu častíc. Je známe, že veľmi dôležitou vlastnosťou energie je jej schopnosť transformovať sa z jednej formy do druhej a naopak. K tomu dochádza v ekvivalentných množstvách a za rôznych vonkajších podmienok. Tieto metamorfózy predstavujú jeden zo základných zákonov zachovania a transformácie energie. S takýmito javmi výskumníci zistili nárast relativistickej hmoty. Podobné procesy sa vyskytujú pri akomkoľvek zvýšení energie telies, a to nezávisí od konkrétneho typu energie, vrátane kinetickej energie. Zistilo sa, že celková energia telesa je úmerná jeho relativistickej hmotnosti. Deje sa tak bez ohľadu na to, z akých konkrétnych druhov energie pozostáva.
Vizuálne možno takéto procesy znázorniť vo forme jednoduchých príkladov:
- vyhrievané teleso bude mať väčšiu pokojovú hmotnosť ako studený predmet;
- mechanicky deformovaný diel má tiež väčšiu hmotnosť ako ten, ktorý nebol spracovaný.
Einstein pochopil tento vzťah medzi hmotnosťou a energiou telesa. Preto počas nepružnej zrážky rôznych častíc dochádza k určitým procesom premeny kinetickej energie na vnútornú energiu. Nazýva sa aj energia tepelného pohybu častíc. Pri tomto type interakcie je jasné, že pokojová hmotnosť telesa bude väčšia ako celková pokojová hmotnosť telies na začiatku experimentu. Vnútorná energia určitého telesa môže byť sprevádzaná úmerným nárastom hmotnosti. Rovnaký proces je prirodzený pre zvyšovanie hodnoty kinetickej energie. Podľa klasickej mechaniky takéto zrážky neznamenali vznik vnútornej energie, pretože neboli zahrnuté do pojmu mechanická energia.
Proporcionalita hmotnosti a energie
Pre logické fungovanie zákona relativistickej energie je potrebné zaviesť pojem zákona zachovania hybnosti a jeho vzťah s princípom relativity. To si vyžaduje, aby bol zákon zachovania energie splnený v rôznych inerciálnych vzťažných sústavách.
Zachovanie hybnosti úzko súvisí s proporcionalitou energie a telesnej hmoty vo všetkých jej formách a prejavoch. Zachovanie hybnosti nie je možné v uzavretom referenčnom rámci, keď dochádza k prechodu energie z jej obvyklej formy do inej. V tomto prípade sa telesná hmotnosť začína meniť a zákon prestáva správne platiť. Zákon úmernosti hmotnosti a energie je vyjadrený ako najpribližnejší záver celej teórie relativity.
Inertné vlastnosti tela v kvantitatívnom vyjadrení charakterizujú mechaniku telesnej hmoty. Takáto inertná hmota môže predstavovať mieru zotrvačnosti celého telesa. Antipódom zotrvačnej hmoty je gravitačná hmotnosť. Vyznačuje sa schopnosťou telesa vytvárať okolo seba určité gravitačné pole a pôsobiť tak na iné telesá.
V súčasnosti je rovnosť gravitačnej a zotrvačnej hmotnosti potvrdená veľkým počtom experimentálnych štúdií. V teórii relativity tiež vyvstáva otázka, kde sa objavujú pojmy energia a hmotnosť telesa. Je to spôsobené prejavmi rôznych vlastností hmoty. Ak sa podrobne preskúmajú v naznačenej rovine, hmotnosť a energia v hmote sa budú výrazne líšiť. Takéto vlastnosti hmoty sú však nepochybne silne prepojené. V tejto súvislosti je zvykom hovoriť o ekvivalencii hmotnosti a energie, pretože sú navzájom úmerné.
