Zanati od papira nisu samo razne razglednice i aplikacije izrađene u obliku ravnih proizvoda. Trodimenzionalni modeli figura su vrlo originalni (fotografija 1). Na primjer, možete dizajnirati. Pogledajmo neke načine kako to učiniti, koristeći dijagrame i fotografije.

Istorija figura

Drevna matematička nauka ima svoje korijene u dalekoj prošlosti, tokom prosperiteta starog Rima i Grčke. Tada je bilo uobičajeno povezati tehničke aspekte sa filozofskim. Stoga, prema učenju Platona (jednog od drevnih grčkih mislilaca), svaki od poliedara, koji se sastoji od određenog broja identičnih ravnina, simbolizira jedan element. Figure iz trokuta - oktaedar, ikosaedar i tetraedar - povezane su sa zrakom, vodom i vatrom, respektivno, i mogu se transformirati jedna u drugu zbog ujednačenosti lica, od kojih svako ima tri vrha. Zemlju simbolizira heksaedar kvadrata. A dodekaedar, zahvaljujući svojim posebnim peterokutnim licima, igra dekorativnu ulogu i prototip je harmonije i mira.

Poznato je i to da je jedan od grčkih matematičara, Euklid, u svom učenju „Načela“ dokazao jedinstvenost pomenutih Platonovih tijela i njihovu osobinu „uklapanja“ u sferu (slika 2). Prikazani poliedar je napravljen od papira preklapanjem dvadeset međusobno povezanih jednakokračnih trouglova. Dijagram jasno pokazuje obrazac za izradu figure. Pogledajmo bliže sve faze rada na stvaranju ikosaedra.

Pravljenje dvadeset hedrona

Ikosaedar se sastoji od jednakokračnih trouglova jednake veličine. Lako se može sklopiti pomoću razvoja prikazanog na slici 2. Uzmite pravougaoni komad papira. Na njemu nacrtajte dvadeset trokuta iste veličine i oblika, poređajući ih u četiri reda. U ovom slučaju, svako lice jednog će istovremeno biti strana drugog. Upotrijebite rezultirajući predložak da napravite prazninu. Od osnovnog razvrtača će se razlikovati po prisutnosti dodataka za lijepljenje duž svih vanjskih linija. Nakon što izrežete blanko iz papira, savijte ga duž linija. Kada formirate poliedar od papira, zatvorite vanjske redove jedan s drugim. U ovom slučaju, vrhovi trokuta će se spojiti u jednu tačku.

Pravilni poliedri

Sve figure se razlikuju jedna od druge po različitom broju lica i njihovom obliku. Osim toga, neki modeli se mogu presavijati iz jednog lista (kao što je opisano u primjeru izrade ikosaedra), drugi - samo sastavljanjem nekoliko modula. Pravilni poliedri se smatraju klasičnim. Izrađeni su od papira, pridržavajući se glavnog pravila simetrije - prisutnost potpuno identičnih rubova u predlošku. Postoji pet glavnih tipova takvih figura. Tabela pruža informacije o njihovim nazivima, brojevima i oblicima rubova:

Raznolikost figura

Na osnovu gore navedenih pet tipova, koristeći vještinu i maštu, majstori mogu lako konstruirati mnogo različitih modela papira. Poliedar može biti potpuno drugačiji od pet gore opisanih figura, formirajući se istovremeno od lica različitih oblika, na primjer, od kvadrata i trokuta. Ovako se dobijaju Arhimedova čvrsta tela. A ako preskočite jednu ili više ivica, dobićete otvorenu figuru, vidljivu i spolja i iznutra. Za izradu trodimenzionalnih modela koriste se posebni uzorci, izrezani od prilično debelog papira koji dobro drži oblik. Od papira prave i posebne poliedre. Dizajn takvih proizvoda predviđa prisutnost dodatnih, izbočenih modula. Pogledajmo načine za konstruiranje vrlo lijepe figure koristeći dodekaedar kao primjer (fotografija 3).

Kako napraviti poliedar sa dvanaest vrhova od papira: prva metoda

Ova figura se još naziva i zvjezdani dodekaedar. Svaki od njegovih vrhova u osnovi je Dakle, takvi poliedri se prave od papira na dva načina. Šeme za proizvodnju malo će se razlikovati jedna od druge. U prvom slučaju, ovo je jedan dio (slika 4), kao rezultat savijanja koji se dobiva gotov proizvod. Pored glavnih lica, crtež sadrži spojne dijelove za lijepljenje, zahvaljujući kojima se figura zatvara u jedinstvenu cjelinu. Da biste napravili poliedar drugom metodom, potrebno je napraviti nekoliko predložaka zasebno. Pogledajmo detaljnije proces rada.

Kako napraviti poliedar od papira: druga metoda

Napravite dva glavna šablona (slika 5):

- Prvo. Nacrtajte krug na listu i podijelite ga poprečno na dva dijela. Jedan će biti osnova za uzorak, odmah obrišite luk drugog radi praktičnosti. Podijelite dio na pet jednakih dijelova i ograničite sve polumjere na poprečne segmente. Rezultat će biti pet identičnih jednakokračnih trokuta povezanih zajedno. Nacrtajte pored srednjeg segmenta potpuno isti polukrug, samo u zrcalnoj slici. Kada se presavije, rezultirajući dio izgleda kao dva konusa. Napravite ukupno šest takvih sličnih šablona. Za njihovo lijepljenje koristi se drugi dio koji će se postaviti unutra.

- Sekunda. Ovaj uzorak je zvijezda petokraka. Popunite istih dvanaest praznina. Da bi se formirao poliedar, svaka od zvijezda sa svojim krajevima savijenim prema gore stavlja se unutar dijelova u obliku konusa i lijepi na lica.

Potpuna montaža figure postiže se povezivanjem dvostrukih blokova s ​​dodatnim komadima papira, pomičući ih prema unutra. Prilikom modeliranja proizvoda prilično je problematično učiniti ih različitim po veličini. Gotove modele papirnih poliedara nije tako lako povećati. Da bi se to postiglo, nije dovoljno samo napraviti dopuštenja duž svih vanjskih granica. Morate skalirati svako lice posebno. Ovo je jedini način da dobijete uvećanu kopiju originalnog modela. Koristeći drugu metodu izrade poliedra, to je mnogo lakše učiniti, jer će biti dovoljno povećati početne praznine, od kojih je već napravljen potreban broj pojedinačnih dijelova.

Možete pronaći mnogo zanimljivih stvari za sebe u onim oblastima nauke koje, čini se, nikada ne bi bile korisne u uobičajenom životu običnog čovjeka sa ulice. Na primjer, geometrija, na koju većina ljudi zaboravlja čim pređu prag škole. Ali na čudan način, nepoznate oblasti nauke postaju veoma fascinantne kada im se približite. Dakle, geometrijski razvoj poliedra - potpuno nepotrebna stvar u svakodnevnom životu - može postati početak uzbudljive kreativnosti koja može očarati i djecu i odrasle.

Predivna geometrija

Uređenje interijera vašeg doma stvaranjem neobičnih, stilskih stvari vlastitim rukama uzbudljiva je kreativnost. Izrada raznih poliedara od debelog papira znači stvaranje unikatnih stvari koje mogu biti samo aktivnost na dan-dva, ili se mogu pretvoriti u dizajnerske unutrašnje dekoracije. Uz to, razvojem tehnologije sposobne za prostorno modeliranje svih vrsta stvari, postalo je moguće kreirati moderne i moderne 3D modele. Postoje majstori koji, konstruirajući šare prema zakonima geometrije, izrađuju papirne modele životinja i raznih predmeta. Ali ovo je prilično složena matematička i crtačka kreativnost. To će pomoći da se počne raditi u takvoj tehnologiji

Različita lica - različiti oblici

Poliedri su posebna oblast geometrije. One mogu biti jednostavne - na primjer, kockice s kojima se djeca igraju od malih nogu - a mogu biti vrlo, vrlo složene. Izgradnja razmatra se razvoj poliedara za lijepljenje prilično složeno područje dizajna i kreativnosti: ne samo da morate znati osnove crtanja i geometrijske karakteristike prostora, već i imati prostornu maštu, koja vam omogućava da procijenite ispravnost rješenja čak iu fazi projektiranja . Ali ne možete proći samo svojom maštom. Uraditi Nije dovoljno samo zamisliti kako bi rad na kraju trebao izgledati. Morate biti u stanju da ga pravilno izračunate, dizajnirate i pravilno nacrtate.

Prvi poliedar - kocka

Najvjerovatnije, svaka osoba koja je pohađala školu, čak i u osnovnoj školi, bila je suočena sa radom na časovima rada, čiji je rezultat trebao biti papirna kocka. Najčešće je nastavnik dijelio praznine -skeniranje kockastog poliedra na debelom papiru sa posebnim džepovima dizajniranim za lijepljenje lica modela u jednu cjelinu. Učenici osnovnih škola mogli su se pohvaliti ovakvim radom, jer su uz pomoć papira, makaza, ljepila i vlastitim trudom napravili zanimljiv zanat - trodimenzionalnu kocku.

Zabavne aspekte

Iznenađujuće, mnoga znanja o svijetu oko nas postaju zanimljiva ne u školi, već samo kada se u njima može pronaći nešto fascinantno, sposobno dati nešto novo i neobično u svakodnevnom životu. Malo odraslih se sjeća da su isti poliedri podijeljeni na ogroman broj tipova i podvrsta. Na primjer, postoje takozvana Platonova tijela - konveksni poliedri, koji se sastoje od samo pet takvih tijela: tetraedar, oktaedar, heksaedar (kocka), ikosaedar, dodekaedar. To su konveksne figure bez udubljenja. Zvjezdasti poliedri se sastoje od ovih osnovnih oblika u različitim konfiguracijama. Zbog togarasklapanje jednostavnog poliedra omogućava vam da nacrtate, odnosno nacrtate, a zatim zalijepite zvjezdani poliedar s papira.

Pravilni i nepravilni zvjezdasti poliedri

Sabiranjem Platonovih tijela određenim redoslijedom možete izgraditi mnoge zvjezdaste poligone - lijepe, složene, višekomponentne. Ali oni će se zvati "nepravilni zvezdasti poliedri". Postoje samo četiri pravilna zvjezdasta poliedra: mali zvjezdani dodekaedar, veliki zvjezdani dodekaedar, veliki dodekaedar i veliki ikosaedar. Razvoj poliedara za lijepljenje neće biti jednostavni crteži. Oni će se, kao i figure, sastojati od nekoliko komponenti. Na primjer, mali zvjezdani dodekaedar je izgrađen od 12 peterokutnih jednakokračnih piramida, presavijenih poput pravilnog dodekaedra. Odnosno, prvo ćete morati nacrtati i zalijepiti 12 identičnih komada pravilnih piramida, koje se sastoje od 5 jednakih lica. I tek tada se mogu sastaviti zvezdani poliedar. Otkrivanje najmanje zvijezde dodekaera težak je i gotovo nemoguć zadatak. Da biste ga izgradili, morate biti u mogućnosti da stavite 13 skenova različitih geometrijskih volumetrijskih tijela povezanih jedno s drugim u jednu ravan.

Ljepota je u jednostavnosti

Sva volumetrijska tijela izgrađena prema zakonima geometrije izgledat će fascinantno, uključujući zvezdani poliedar. Razvoj svakog elementa bilo kojeg takvog tijela mora se izvesti što je preciznije moguće. Pa čak i najjednostavniji trodimenzionalni poliedri, počevši od Platonovog tetraedra, nevjerovatna su ljepota harmonije svemira i ljudskog rada, oličena u papirnom modelu. Ovdje je, na primjer, najvišestruki Platonov konveksni poliedar - dodekaedar. Ova geometrijska figura ima 12 apsolutno identičnih lica, 30 ivica i 12 vrhovaKada razvijate pravilne poliedre za lijepljenje, morate primijeniti maksimalnu preciznost i brigu. I što je brojka veća, to bi sva mjerenja trebala biti tačnija.

Kako sami napraviti skeniranje?

Možda je pored lijepljenja poliedra - bilo da je u obliku zvijezde ili platonskog - još zanimljivije samostalno izgraditi razvoj budućeg modela, procjenjujući svoje sposobnosti u crtanju, dizajnu i prostornoj mašti. Jednostavna Platonova tijela sastoje se od jednostavnih poligona koji su identični jedan drugom na jednoj slici. Dakle, tetraedar su tri jednakokračna trougla. Prije nego što konstruirate mrežu, morate zamisliti kako pravilno sabirati ravne poligone da biste dobili poliedar. Trokuti se mogu povezati jedan s drugim duž ivica crtanjem jedan do drugog. Za lijepljenje Razvoj poliedara dijagrama mora biti opremljen posebnim džepovima ili ventilima koji će omogućiti da se svi dijelovi povežu u jednu cjelinu. Tetraedar je najjednostavniji lik sa četiri lica. Oktaedar se može zamisliti kao dvostruki tetraedar i ima osam garneis - jednakokračnih trouglova. Heksaedar je kocka koja je svima poznata od djetinjstva. Ikosaedar je kombinacija 20 jednakokračnih trouglova u pravilan konveksni poliedar. Dodekaedar je trodimenzionalna figura od 12 lica, od kojih je svako pravilan pentagon.

Suptilnosti rada

Izrada razvoja poliedra i lijepljenje papirnog modela od njega je delikatna stvar. Naravno, možete napraviti gotov skeniranje. Ili ga možete, uz malo truda, napraviti sami. Ali da biste napravili punopravni trodimenzionalni model poliedra, morate ga sastaviti. Poliedar je najbolje napraviti od debelog papira koji dobro drži oblik i ne iskrivljuje se od ljepila. Najbolje je prvo pritisnuti sve linije koje treba savijati, koristeći, na primjer, hemijsku olovku koja ne piše ili stražnju stranu oštrice noža. Ova nijansa pomoći će da se model preciznije presavije, poštujući dimenzije i smjer rebara.

Ako napravite različite poliedre od papira u boji, onda se takvi modeli mogu koristiti kao ukrasni elementi za ukrašavanje sobe - dječje sobe, ureda, dnevnog boravka. Inače, poliedre se može nazvati jedinstvenim nalazom za dekoratere. Moderni materijali omogućavaju stvaranje originalnih predmeta interijera na temelju geometrijskih oblika.

Stvaranje zanata vlastitim rukama zanimljivo je ne samo djeci, već i odraslima. Međutim, izmišljen je dovoljan broj modela za odrasle, koji se razlikuju po složenosti izvođenja i vremenu utrošenom na njihovo stvaranje. Nedavno su odrasli i djeca postali zainteresirani za stvaranje složenih geometrijskih oblika. Ova vrsta figure uključuje ikosaedar, koji je pravilan poligon i jedno je od Platonovih tijela - pravilnih poliedara. Ova figura ima 20 trokutastih lica (jednakostraničnih trokuta), 30 ivica i 12 vrhova, koji su spoj 5 ivica. Sastavljanje ispravnog ikosaedra od papira je prilično teško, ali zanimljivo. Ako ste strastveni origami, onda vam neće biti teško napraviti ikosaedar od papira vlastitim rukama. Izrađuje se od obojenog, valovitog papira, folije i papira za umotavanje cvijeća. Koristeći različite materijale, svom ikosaedru možete dodati još veću ljepotu i djelotvornost. Sve ovisi samo o mašti njegovog kreatora i dostupnom materijalu na stolu.

Nudimo vam nekoliko opcija za razvoj ikosaedra, koji se mogu ispisati, prenijeti na debeli papir i karton, presavijati po linijama i zalijepiti.

Kako napraviti ikosaedar od papira: dijagram

Da biste sastavili ikosaedar od lista papira ili kartona, prvo morate pripremiti sljedeće materijale:

• raspored ikosaedra;
• PVA ljepilo;
• škare;
• vladar.

Prilikom izrade ikosaedra važno je obratiti posebnu pažnju na proces savijanja svih dijelova: kako biste ravnomjerno savijali papir, možete koristiti obično ravnalo.

Važno je napomenuti da se ikosaedar može naći i u svakodnevnom životu. Na primjer, fudbalska lopta je napravljena u obliku skraćenog ikosaedra (poliedar koji se sastoji od 12 pentagona i 20 šesterokuta pravilnog oblika). Ovo je posebno vidljivo ako dobijeni ikosaedar obojite u crno-bijelo, poput same lopte.

Takvu fudbalsku loptu možete sami napraviti tako što ćete prvo odštampati skeniranu kopiju skraćenog ikosaedra u 2 primjerka:

Izrada ikosaedra vlastitim rukama je zanimljiv proces koji zahtijeva promišljenost, strpljenje i puno papira. Međutim, konačni rezultat će dugo ugoditi oku. Ikosaedar se može dati djetetu da se igra ako je već napunilo tri godine. Igrajući se tako složenom geometrijskom figurom, on će razviti ne samo maštovito mišljenje i prostorne vještine, već će se i upoznati sa svijetom geometrije. Ako odrasla osoba odluči sama stvoriti ikosaedar, tada će mu takav kreativni proces izgradnje ikosaedra omogućiti da provede vrijeme i da pokaže svojim voljenima svoju sposobnost stvaranja složenih oblika.

Opštinska obrazovna ustanova Mozharov - Srednja škola Maidanskaya

Obrazovno-istraživački rad

na temu

„Neobični poliedri

od papira"

Završeno:

Učenik 9. razreda A.V. Kolbasov

Supervizor:

nastavnik matematike Pogodina A.A.

Relevantnost odabrane teme:

Vidio sam neobične papirnate poliedre u origami stilu i odlučio sam napraviti neke od njih vlastitim rukama.

Cilj:

razvoj kognitivnog interesa za neobične oblike poliedara.

zainteresovati druge za takve neobične poliedre.

Zadaci:

proučavati istoriju poliedara;

materijal za učenje o izradi poliedara od papira u origami stilu;

dokazati sebi da ja to mogu;

pokazati drugima kako da to urade.

Istorija figura

Drevna matematička nauka ima svoje korijene u dalekoj prošlosti, tokom prosperiteta starog Rima i Grčke. Tada je bilo uobičajeno povezati tehničke aspekte sa filozofskim. Stoga, prema učenju Platona (jednog od drevnih grčkih mislilaca), svaki od poliedara, koji se sastoji od određenog broja identičnih ravnina, simbolizira jedan element. Figure iz trokuta - oktaedar, ikosaedar i tetraedar - povezane su sa zrakom, vodom i vatrom, respektivno, i mogu se transformirati jedna u drugu zbog ujednačenosti lica, od kojih svako ima tri vrha. Zemlju simbolizira heksaedar kvadrata. A dodekaedar, zahvaljujući svojim posebnim peterokutnim licima, igra dekorativnu ulogu i prototip je harmonije i mira. Poznato je i da je jedan od grčkih matematičara, Euklid, u svom učenju „Elementi“ dokazao jedinstvenost pomenutih Platonovih tela i njihovo svojstvo „uklapanja“ u sferu.

Pravilni poliedri

Sve figure se međusobno razlikuju po različitom broju lica i njihovom obliku. Osim toga, neki modeli se mogu presavijati iz jednog lista (kao što je opisano u primjeru izrade ikosaedra), drugi - samo sastavljanjem nekoliko modula. Pravilni poliedri se smatraju klasičnim. Izrađeni su od papira, pridržavajući se glavnog pravila simetrije - prisutnost potpuno identičnih rubova u predlošku. Postoji pet glavnih tipova takvih figura. Tabela pruža informacije o njihovim nazivima, brojevima i oblicima ivica:

Zanati od papira nisu samo razne razglednice i aplikacije izrađene u obliku ravnih proizvoda. Trodimenzionalni modeli figura su vrlo originalni (fotografija 1). Na primjer, možete konstruirati poliedar od papira. Pogledajmo neke načine kako to učiniti pomoću dijagrama i fotografija.

Prikazani poliedar je napravljen od papira preklapanjem dvadeset međusobno povezanih jednakokračnih trouglova. Dijagram jasno pokazuje obrazac za izradu figure. Pogledajmo bliže sve faze rada na stvaranju ikosaedra. Pravljenje 20-edra Ikosaedar se sastoji od jednakokračnih trouglova jednake veličine. Lako se može sklopiti pomoću razvoja prikazanog na slici 2. Uzmite pravougaoni komad papira. Na njemu nacrtajte dvadeset trokuta iste veličine i oblika, poređajući ih u četiri reda. U ovom slučaju, svako lice jednog će istovremeno biti strana drugog. Upotrijebite rezultirajući predložak da napravite prazninu. Od osnovnog razvrtača će se razlikovati po prisutnosti dodataka za lijepljenje duž svih vanjskih linija. Nakon što izrežete blanko iz papira, savijte ga duž linija. Kada formirate poliedar od papira, zatvorite vanjske redove jedan s drugim. U ovom slučaju, vrhovi trokuta će se spojiti u jednu tačku.

Raznolikost figura

Na osnovu gore navedenih pet vrsta, koristeći vještinu i maštu, majstori mogu lako konstruirati mnogo različitih modela papira. Poliedar može biti potpuno drugačiji od pet gore opisanih figura, formirajući se istovremeno od lica različitih oblika, na primjer, od kvadrata i trokuta. Ovako se dobijaju Arhimedova čvrsta tela. A ako preskočite jednu ili više ivica, dobićete otvorenu figuru, vidljivu i spolja i iznutra. Za izradu trodimenzionalnih modela koriste se posebni uzorci, izrezani od prilično debelog papira koji dobro drži oblik. Od papira prave i posebne poliedre. Dizajn takvih proizvoda predviđa prisutnost dodatnih, izbočenih modula. Pogledajmo načine za konstruiranje vrlo lijepe figure koristeći dodekaedar kao primjer (fotografija 3).Kako napraviti poliedar sa dvanaest vrhova od papira: prva metoda Ova figura se naziva i zvjezdani dodekaedar. Svaki od njegovih vrhova u osnovi je pravilan pentagon. Stoga se takvi poliedri izrađuju od papira na dva načina. Šeme za proizvodnju malo će se razlikovati jedna od druge. U prvom slučaju radi se o jednom dijelu (slika 3),

kao rezultat presavijanja, dobiva se gotov proizvod. Pored glavnih lica, crtež sadrži spojne dijelove za lijepljenje, zahvaljujući kojima se figura zatvara u jedinstvenu cjelinu. Da biste napravili poliedar drugom metodom, potrebno je napraviti nekoliko predložaka zasebno. Pogledajmo detaljnije proces rada. Kako napraviti poliedar od papira: drugi način Napravite dva glavna šablona

Prvo. Nacrtajte krug na listu i podijelite ga poprečno na dva dijela. Jedan će biti osnova za uzorak, odmah obrišite luk drugog radi praktičnosti. Podijelite dio na pet jednakih dijelova i ograničite sve polumjere na poprečne segmente. Rezultat će biti pet identičnih jednakokračnih trokuta povezanih zajedno. Nacrtajte pored srednjeg segmenta potpuno isti polukrug, samo u zrcalnoj slici. Kada se presavije, rezultirajući dio izgleda kao dva konusa. Napravite ukupno šest takvih sličnih šablona. Za njihovo lijepljenje koristi se drugi dio koji će se postaviti unutra.

Sekunda. Ovaj šablon je zvijezda petokraka. Popunite istih dvanaest praznina. Da bi se formirao poliedar, svaka od zvijezda sa svojim krajevima savijenim prema gore stavlja se unutar dijelova u obliku konusa i lijepi na lica. Potpuna montaža figure postiže se povezivanjem dvostrukih blokova s ​​dodatnim komadima papira, pomičući ih prema unutra. Prilikom modeliranja proizvoda prilično je problematično učiniti ih različitim po veličini. Gotove modele papirnih poliedara nije tako lako povećati. Da bi se to postiglo, nije dovoljno samo napraviti dopuštenja duž svih vanjskih granica. Morate skalirati svako lice posebno. Ovo je jedini način da dobijete uvećanu kopiju originalnog modela. Koristeći drugu metodu izrade poliedra, to je mnogo lakše učiniti, jer će biti dovoljno povećati početne praznine, od kojih je već napravljen potreban broj pojedinačnih dijelova.

Dodekaedar tehnikom origami

Origami modul je odlična osnova za dodekaedar. Trebat će vam 30 pravokutnih ili kvadratnih listova papira. Svaki od listova je presavijen na pola, a zatim svaku polovicu treba saviti u suprotnom smjeru - dobivate "harmoniku" u četiri nabora. Ponekad, ako list nije pravougaoni, prave "harmoniku" u tri nabora. Kao rezultat, imate usku traku pro-uglja u svojim rukama. Zatim, sa svake strane pravokutnika duž uske strane, trebate saviti kut. Uglovi se savijaju u jednom smjeru - to su budući pričvršćivači koji će biti uvučeni u harmoniku. Zatim savijte modul prema unutra dijagonalno od malih bočnih uglova. Dakle, jedan modul za origami dodekaedar je trodimenzionalan, uključuje dvije ivice buduće figure i uglove. Kada su svi moduli spremni, montaža može početi.

Montaža počinje s jednom jedinicom, za koju trebate uzeti tri modula. Na slici ispod su plavi, roze i žuti origami moduli. Dijagrami montaže su prilično jednostavni, a čak i početnici mogu lako rukovati takvim figurama (36 praznina).

Koje se zanate mogu napraviti na osnovu dodekaedra?

Svaka strana papirnatog dodekaedra je ravan pentagon, koji sam po sebi može biti osnova za široku lepezu bizarnih oblika. Na primjer, na fotografiji ispod pentagon je zamijenjen zvijezdom petokrakom.

Na takvoj figuri nema rebara, iako bi trebalo. Kako napraviti dodekaedar od papira u obliku zvijezde? U gore prikazanom razvoju, zamijenite svaki petougao traženom petokrakom i povežite ih ne duž rubova, već na vrhovima. Ova fotografija prikazuje zvezdasti dodekaedar. Svaka "zraka" je zasnovana na istom pentagonu. Umjesto peterokutnih piramida može se napraviti bilo koja trodimenzionalna figura.

Poliedar tetraedara.

Izrađujemo 30 modula (praznih)

zaključak: Izrada neobičnih poliedara od papira u origami stilu razvija prostornu maštu, poboljšava motoriku prstiju i čini osobu svrsishodnijom i marljivijom.

papirni modeli

Prilikom konstruiranja papirnih modela poliedara, preporučujem da postupite na sljedeći način:

1. Napravite crteže ivica. Ako želite da napravite model srednje veličine, možete jednostavno odštampati crteže date na stranici posvećenoj odgovarajućem poliedru. Ako želite da napravite model druge veličine, morate sami dovršiti crtež. Budite vrlo oprezni, tačnost crteža određuje koliko će se dijelovi dobro uklopiti.

2. Napravite šablon prema crtežu. Da biste to učinili, stavite crtež na list debelog kartona i probušite oba lista na vrhovima poligona iglom ili tankim šilom. Oštrom olovkom povežite nastale ubode duž ravnala. Pažljivo izrežite šablonu nožem ili makazama, odmaknuvši se od linije olovke za oko 0,5 cm.

3. Odaberite materijal od kojeg ćete napraviti model. Za modele srednje veličine, debeli papir za crtanje dobro funkcionira. Također je dobro koristiti tanki sjajni karton. Ako pravite veliki model, trebate odabrati gušći materijal kako se model ne bi srušio od vlastite težine. Ako pravite model u boji, potrebno je da koristite materijal u boji ili ga sami obojite prije nego što napravite praznine.

4. Koristeći šablonu, napravite potreban broj praznina. Da biste napravili blanko, stavite šablon na list materijala koji ste odabrali za model i napravite ubode u vrhovima poligona. Sada, koristeći oštar predmet - iglu ili šilo - nacrtajte granice i presavijte linije između uboda. Ako koristite dovoljno debeo karton, možete koristiti vrlo oštar nož umjesto igle kako biste pažljivo prorezali karton do jedne trećine.

5. Izrežite dijelove, ostavljajući polja za naljepnice s kojima će dijelovi biti povezani, veličine od 0,3 do 0,5 cm Postoji nekoliko tehnologija za povezivanje dijelova (o njima se govori u nastavku); ostavite one naljepnice koje su potrebne za tehnologiju koju odaberete. Izrežite uglove radnih komada tako da rez prolazi tačno kroz ubod.

6. Pažljivo savijte dijelove duž linija koje ste nacrtali. Ako je preklop jako dugačak (više od 8 cm), onda kako ne biste zgužvali radni komad, upotrijebite ravnalo, pritiskajući njime radni komad duž linije preklopa.

7. Ovaj korak možete preskočiti, ali ako pravite jednobojni model, ovaj tretman će imati velike koristi. Nakon što ogulite naljepnice, pažljivo obojite rebra budućeg modela crnom tintom. Kako biste izbjegli mrlje na radnim komadima, bojite rebra jedno po jedno, bez započinjanja sljedećeg dok se prethodno ne osuši. Vrlo je zgodno raditi na "transporter" način, praveći više identičnih komada istovremeno - obojite po jednu ivicu svakog komada, a kada obradite zadnji dio, prvi je potpuno suh i možete početi farbati sledeća ivica.

8. Ako model ima vrlo oštre poligonalne uglove, dodatno obrežite uglove naljepnica. To ne treba činiti prerano, inače će biti teško pažljivo odlijepiti naljepnice. Pokušajte ostaviti što više prostora za lijepljenje. Odrežite samo toliko da naljepnice ne ometaju rubove i jedni druge u blizini vrhova poliedra.

9. Kada su svi dijelovi spremni, možete pristupiti lijepljenju modela. Postoje četiri načina lijepljenja dijelova:

Dvostruke naljepnice. Naljepnice se zadržavaju na svakoj ivici svakog dijela. Naljepnice se lijepe jedna na drugu, ostaju unutar modela; rezultat su rebra dvostruke debljine. Ova rebra čine model vrlo čvrstim i izdržljivim.
Pojedinačne naljepnice. Naljepnica se ostavlja samo na jednom dijelu i lijepi na drugi. Ova metoda je loša jer se ispostavlja da je lijepljenje asimetrično, a model neuredan. Ne preporučujem korištenje ove metode. Međutim, u proizvodnji nekih modela, prilikom spajanja pojedinačnih dijelova, potrebno je koristiti ovu metodu, jer nije moguće napraviti dvostruku naljepnicu. Svi takvi slučajevi su posebno obrađeni u tekstu.
Lepljenje dupeta. Metoda zahtijeva veliku pažnju. Prilikom lijepljenja od kraja do kraja, naljepnice uopće ne ostaju. Dijelovi se spajaju bez ljepila, a zatim se ljepilo gusto nanosi na granicu između njih. Dijelove treba držati dok se ljepilo ne osuši. Ovu metodu treba koristiti samo pri izradi relativno jednostavnih modela (gdje se dijelovi mogu lako držati dok se ne osuše) od vrlo gustog materijala. Osim toga, ponekad vrlo mali dijelovi moraju biti pričvršćeni "od kraja do kraja" - tako mali da je gotovo nemoguće napraviti naljepnicu.
Lepljenje dodatnim materijalom. Naljepnice se, kao i kod sučelja lijepljenja, ne prave. Dijelovi se drže zajedno s trakom tankog papira (na primjer, paus papira) premazanom ljepilom ili trakom. Na ovaj način je teško napraviti tačan model.
Izbor ljepila je važan. Prije izrade modela testirajte ljepilo na komadima istog papira s kojim ćete raditi. Potrebno je da ljepilo nakon sušenja ne iskrivi papir i ne ostavi mrlje na njemu. Osim toga, ljepilo bi trebalo da se veže dovoljno brzo (manje od minute, tako da dijelove ne morate držati nekoliko dana), ali ne odmah (tako da možete malo pomjeriti već spojene dijelove kako biste postigli uredan rezultat ). Posljednji, ali vrlo važan zahtjev je da ljepilo ne smije biti otrovno. Ako ćete praviti model, nećete moći raditi u haubi i morat ćete udisati pare ljepila za sušenje.

Od dostupnih ljepila najbolje je koristiti PVA. Ovaj ljepilo ispunjava sve zahtjeve. Bezbojan je i ne savija papir, veže se za 10-20 sekundi i potpuno je netoksičan (ispušta vodenu paru kada se osuši). Osim toga, PVA se može razrijediti vodom do željene gustoće. Činjenica je da je ponekad (na primjer, kod lijepljenja velikih dijelova) zgodnije raditi s tekućim ljepilom, koje se malo sporije stvrdnjava, ali u drugim slučajevima (za male ili teško dostupne dijelove) želite da ljepilo postaviti brže. Možete, naravno, koristiti nekoliko različitih ljepila, ali upotreba mješavine PVA i vode u pravom omjeru je mnogo praktičnija. Maksimalno preporučeno razrjeđivanje je 1:1, ali najčešće se koristi mješavina jednog dijela vode i dva dijela ljepila.

Postupak lijepljenja je prilično jednostavan. Nanesete ravnomjeran tanak sloj ljepila na obje naljepnice i pritisnete ih zajedno. Dijelove treba lagano pomjeriti kako bi se ljepilo ravnomjerno rasporedilo po naljepnicama. Nakon što su dijelovi u ispravnom položaju, treba ih čvrsto pritisnuti i pričekati da se ljepilo osuši. S vremena na vrijeme trebate koristiti pincetu ili, još bolje, hirurške pincete. Ovi alati su posebno korisni u završnim fazama kada morate raditi unutar modela kroz malu rupu. Osim toga, prilikom izrade složenih modela ponekad je potrebno koristiti široke ravne stezaljke za držanje naljepnica dok se ljepilo potpuno ne osuši.

Primjeri.

Tetrahedron

Tetraedar pripada porodici Platonovih tijela, to jest, tetraedar je najjednostavniji poliedar njegova lica su identični pravilni poligoni, svi njegovi poliedarski uglovi su jednaki.

Tetraedar je prostorni analog ravnog jednakostraničnog trougla jer ima najmanji broj strana koje odvajaju dio trodimenzionalnog prostora. Model tetraedra omogućava bojenje u četiri boje koje zadovoljava princip bojanja karata. Započnite izradu modela sa četiri blanka. Obavezno ostavite naljepnice sa svake strane. Zalijepite tri praznine na strane četvrtog. Dobićete veliki trougao koji se sastoji od četiri prazna polja. Spojite nezalijepljene bočne ivice i zalijepite dvije zajedno. Zatim prekrijte preostale naljepnice ljepilom i zalijepite zadnji rub, kao da zatvarate kutiju. Držite model neko vrijeme za rebra kako bi unutrašnji naponi i ljepilo završili svoj posao.

Ime tetraedar
oznaka 3|2 3
lica 4
rebra 6
vrhovi 4
nekonveksna lica 0
rub

količina 4

Dodecahedron

Dodekaedar je predstavnik porodice Platonovih tijela, odnosno pravilnih konveksnih poliedara. Dodekaedar ima dvanaest pentagonalnih lica, sastaju se po tri na vrhovima. Ovaj poliedar je izuzetan po tri oblika u obliku zvijezde.

Dodekaedar priznaje dvije zanimljive boje. Prva je bojanje u četiri boje. Međutim, s ovim bojanjem, suprotna lica koja leže u paralelnim ravnima dobivaju drugačiju boju. Druga opcija je slikanje u šest boja, u kojem su suprotne ivice obojene istom bojom.

Prva opcija bojenja - 4 boje

Druga opcija bojenja - 6 boja

Konstrukcija modela počinje lijepljenjem pet peterokuta na jedan centralni pentagon. Nakon toga, bočni peterokuti su zalijepljeni - i polovina modela je spremna. Ostaje samo zalijepiti preostale ivice na njega.

Ime dodecahedron
oznaka 3|2 5
lica 12
rebra 30
vrhovi 20
nekonveksna lica 0
rub

količina 12

Ikosaedar

Ikosaedar je predstavnik porodice Platonovih tijela, odnosno pravilnih konveksnih poliedara. Ikosaedar ima dvadeset trouglastih lica, koja se konvergiraju na vrhovima pet.

Ikosaedar ima dvije spektakularne petobojne boje. Prvo, može se obojiti tako da svaki vrh ima svih pet boja (ali suprotne ivice neće biti obojene isto). Kod druge opcije bojenja, suprotne ivice su obojene istom bojom, ali na svim vrhovima, osim na dva dijametralno suprotna „pola“, jedna od boja se pojavljuje dvaput.

Prva opcija bojenja

Druga opcija bojenja

Model možete započeti lijepljenjem pet trouglova u nisku peterokutnu piramidu bez osnove. Sljedećih pet trouglova zalijepljeno je na stranice njegove baze. Između njih zalijepite jedan trougao - pet lica bi se trebalo sastati na svakom vrhu. Na kraju, da završite model, zalijepite zadnjih pet trouglova.

Ime ikosaedar
oznaka 5|2 3
lica 20
rebra 30
vrhovi 12
nekonveksna lica 0
rub

količina 20

Rombikuboktaedar

Rombikuboktaedar pripada porodici arhimedovih čvrstih tijela, odnosno polupravilnih konveksnih poliedara. Ime poliedra objašnjava njegovo porijeklo - dobiva se rombičkim skraćivanjem kuboktaedra. Najprirodnija boja ovog tijela je kada su mnoga kvadratna lica podijeljena u dva višebojna podskupa - kubnog i rombičnog porijekla, a trokuti naslijeđeni od oktaedra dobijaju treću boju.

Rombokuboktaedar je posebno zanimljiv zbog svoje veze sa pseudorhombokuboktaedrom, poliedrom koji takođe pripada porodici arhimedovih čvrstih tela, ali otkriven tek u 20. veku.
Kada pravite ovaj model, možete započeti lijepljenjem pet kvadrata u neku vrstu križa. Trokuti se zatim zalijepe između četiri kvadrata križa i imate zdjelu sa osmougaonim gornjim rubom. Osam kvadrata je zalijepljeno na labave naljepnice. Nakon toga, lako je završiti model lijepljenjem dijelova jedan po jedan. Bilo koji od trouglova se lijepi zadnji.

Ime rombikuboktaedar
oznaka 3 4|2
lica 26
rebra 48
vrhovi 24
nekonveksna lica 0
rub

količina 8 18

Rombički skraćeni ikozidodekaedar

Rombični skraćeni ikozidodekaedar pripada porodici arhimedovih čvrstih tijela, odnosno polupravilnih konveksnih poliedara. Dobiva se iz ikosidodekaedra koristeći drugačiju verziju rombičnog skraćenja od rombikozidodekaedra. Ovaj poliedar omogućava jednostavno bojenje - svi dekagoni preostali od dodekaedra su obojeni u jednu boju, heksagoni naslijeđeni od oktaedra - u drugu, kvadrati rombičnog porijekla - u treću.
Da biste napravili model, okružite deseterokut naizmjeničnim kvadratima i šesterokutima. Pričvrstite sljedeće deseterokute, okružujući ih prstenovima ivica druga dva tipa. Kao rezultat, svaka dva dekagona će biti razdvojena takvim prstenom.

Ime rombični skraćeni ikozidodekaedar
oznaka 2 3 5|
lica 62
rebra 180
vrhovi 120
nekonveksna lica 0
rub

količina 30 20 12

Veliki dodekaedar

Veliki dodekaedar pripada porodici Kepler-Poinsotovih tijela, odnosno pravilnih nekonveksnih poliedara. Lica velikog dodekaedra seku petouglove. Vrhovi velikog dodekaedra se poklapaju sa vrhovima opisanog ikosaedra.

Veliki dodekaedar prvi je opisao Louis Poinsot 1809.

Veliki model dodekaedra omogućava bojenje u šest boja, pri čemu paralelna lica dobijaju istu boju. Ovo bojenje zadovoljava princip bojanja karata.
Da biste napravili model, spojite praznine zajedno da dobijete 20 trokutastih piramida sa naljepnicama okrenutim prema van. Zatim zalijepite piramide zajedno na način koji podsjeća na metodu lijepljenja ikosaedra.
Ime veliki dodekaedar
oznaka 5/2 2|5
lica 12
rebra 30
vrhovi 12
nekonveksna lica 0
rub

količina 12

Oktahemioktaedar

Ovaj poliedar je fasetirani kuboktaedar. Ponekad se naziva i oktatetraedar. Četiri ekvatorijalne heksagonalne strane poliedra dijele ivice sa osam trouglastih lica.

Drugi fasetirani oblik kubooktaedra je kubohemioktaedar.

Model se može obojiti u pet boja, pri čemu su četiri ekvatorijalna heksagonalna lica obojena u četiri različite boje, a sva vanjska trokutasta lica dobijaju petu boju. Ovo bojenje zadovoljava princip bojanja karata.
Kao i kod izrade modela tetrahemiheksaedra, postoje dva načina da se ovaj model napravi.

Koristeći prvi metod, napravite osam tetraedara, ostavljajući žljebove na nekim od njihovih rubova i jezičke na nekima od njih. Sami odlučite koje naljepnice treba oguliti, a koje ostati unutra. Obratke spojite umetanjem pera u odgovarajuće žljebove.

U drugoj metodi pravite šest zdjela – piramide bez dna s četvrtastim osnovama – i povezujete ih naljepnicama dvostruke debljine. Na kraju se lijepe vanjske trokutaste ivice.
Ime oktahemioktaedar
oznaka 3/2 3|3
lica 12
rebra 24
vrhovi 12
nekonveksna lica 0
rub

količina 8 4

Mali bitrigonalni ikozidodekaedar

Ovaj poliedar se sastoji od 12 pentagrama na stranama dodekaedra i 20 trouglova na stranama ikosaedra. Lako je primijetiti da se na svakom vrhu lica pojavljuju u tripletima naizmjeničnim redoslijedom, zbog čega se poliedar naziva bitrigonalni ikosidodekaedar.

Pentagrami se mogu obojiti u šest boja tako da suprotne zvijezde budu iste boje. Da biste sačuvali osnovni princip bojanja karata pri odabiru boja za trokutasta lica, morate se obratiti drugoj shemi za bojanje ikosaedra.

Crtež i opis proizvodnje modela ovog poliedra još nisu dostupni.

Ime mali bitrigonalni ikozidodekaedar
oznaka 3|5/2 3
lica 32
rebra 60
vrhovi 20
nekonveksna lica 12
rub 3 5/2
količina 20 12